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ISEE高级定量:如何找到直角三角形斜边的长度:勾股定理

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例子问题

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例子问题1:直角三角形

一个边为5和8的直角三角形的斜边是多少?

可能的答案:

5√4

√89

正确答案:

√89

解释：

因为这是一个直角三角形，我们可以用勾股定理一个²+b²＝c²，即直角三角形的两条边的平方必须等于斜边的平方。这里有一个= 5和b= 8。

一个²+b²＝c²

5²+ 8²＝c²

25 + 64 =c²

89 =c²

c=√89

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例子问题2:直角三角形

哪个量更大?

a) a的斜边 $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ 直角三角形，腿的长度是20

(b)长为19和21的直角三角形的斜边

可能的答案:

从所给的信息是不可能知道的

(b)较大

(a)更大

(a)和(b)相等

正确答案:

(b)较大

解释：

三角形的斜边如下所示:

(一) $c = \sqrt {20^{2} + 20^{2} } = \sqrt {400 + 400 } = \sqrt {800}$

(b) $c = \sqrt {19^{2} + 21^{2} } = \sqrt {361 + 441} = \sqrt {802}$

800 < 802 ,所以 $\sqrt {800} < \sqrt {802}$ ，使(b)数量较大

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例子问题3:直角三角形

哪个量更大?

(a)有边的直角三角形的斜边而且．

(b)有边的直角三角形的斜边而且．

可能的答案:

(a)更大。

从所给的信息是不可能知道的。

(a)和(b)相等。

(b)较大。

正确答案:

(a)更大。

解释：

三角形的斜边如下所示:

(一) $c = \sqrt {10^{2} + 15^{2} } = \sqrt {100 + 225 } = \sqrt {325}$

(b) $c = \sqrt {12^{2} + 13^{2} } = \sqrt {144 + 169 } = \sqrt {313}$

325 > 313 ,所以 $\sqrt {325} > \sqrt {313}$ ，使得(a)数量更大。

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例子问题1:直角三角形

直角三角形有一条边 $4 \frac{1}{2}$ 英尺长，斜边 $7 \frac{1}{2}$ 英尺长。哪个量更大?

(a)三角形第二条边的长度

(b) 60英寸

可能的答案:

(b)较大。

(a)更大。

从所给的信息是不可能知道的。

(a)和(b)相等。

正确答案:

(a)更大。

解释：

第二条腿的长度可以用勾股定理来计算。集 $c = 7 \frac{1}{2} = \frac{15}{2} , a =4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ ：

$b ^{2} = c ^{2}-a ^{2}$

$b ^{2} = \left ( \frac{15}{2} \right ) ^{2}- \left ( \frac{9}{2} \right )^{2}\textup{}$

$b ^{2} = \frac{225}{4} -\frac{81}{4}$

$b ^{2} = \frac{144}{4}$

$b ^{2} = 36$

$b = \sqrt{36} = 6$

因此，第二步测量 $6 \times 12 = 72$ 英寸。

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例子问题1:如何求直角三角形斜边的长度:勾股定理

9英寸和12英寸的直角三角形的斜边是多少?

可能的答案:

27in

15 in

25in

225in

10.5in

正确答案:

15 in

解释：

由于我们处理的是直角三角形，我们可以使用勾股定理( a^2+b^2=c^2 )．在这个公式中，a和b是边，而c是斜边。直角三角形的斜边是最长的边，也是这个直角的对边。现在，我们可以代入公式，它看起来是这样的: 9^2+12^2=c^2. 我们简化并得到 225=c^2 ．在这一点上，分离出c。这意味着在两边取平方根，这样你的答案是15英寸。

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问题32:平面几何

Right_triangle

正五边形的周长是上图中三角形周长的75%。哪个量更大?

(A)五边形一侧的长度

(B)一英尺半

可能的答案:

A和B相等

(B)更大

(A)更大

从所给的信息中不可能确定哪个更大

正确答案:

(B)更大

解释：

根据勾股定理，直角三角形的斜边是

$\sqrt{14^{2}+48^{2}} = \sqrt{196+2,304} = \sqrt{2,500} = 50$ 英寸，构成了它的周长

14 + 48 + 50 =112 英寸。

这个五边形的边长是112的75%

$112 \times 0.75 = 84$ ．

因为五边形有五条等长边，所以每条边都有长度

$84 \div 5 = 16 \frac{4}{5}$ 英寸。

一英尺半相当于 $12 \times 1 \frac{1}{2} = 18$ 英寸，所以(B)是更大的数量。

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示例问题31:三角形

Right_triangle

高斯高中的跑道是不同寻常的，因为它的形状像一个直角三角形，如上图所示。

凯里决定先从A点跑到B点，然后再从B点跑到C点一半的距离。

哪个量更大?

(A)凯里跑步的距离

四分之一英里

可能的答案:

(A)更大

A和B相等

(B)更大

从所给的信息中不可能确定哪个更大

正确答案:

(B)更大

解释：

根据勾股定理，从B到C的距离是

$\sqrt{600^{2} + 800^{2} }$

$= \sqrt{360,000 + 640,000 }$

$= \sqrt{1,000,000} = 1,000$ 脚

卡里运行

$800 + \frac{1}{2} \times1,000 = 800 + 500 = 1,300$ 脚

因为5280英尺是一英里，所以四分之一英里等于

$5,280 \div 4 = 1,320$ 的脚。

(B)更大

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例8:直角三角形

Right_triangle

给出上面直角三角形斜边的长度用．

可能的答案:

$2 \sqrt{2k}$

$2k ^{2} +8k$

$\sqrt{2k ^{2} +8k}$

$\sqrt{2k ^{2} +8}$

$2k ^{2} +8$

正确答案:

$\sqrt{2k ^{2} +8}$

解释：

如果我们让是斜边的长度，那么根据勾股定理，

$c = \sqrt{(k+2)^{2}+(k-2)^{2}}$

$c = \sqrt{(k ^{2}+4k+4) +(k ^{2}-4k+4)}$

$c = \sqrt{2k ^{2} +8}$

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问题9:直角三角形

在广场 SARE ．中点是 $\overline{SE}$ ，中点是 $\overline{SA}$ ,中点是 $\overline{QA}$ ．构造线段 $\overline{QX}$ 而且 $\overline{UR}$ ．

哪个量更大?

(一)

(b)

可能的答案:

(a)为较大的量

(b)是较大的量

(a)和(b)相等

无法确定(a)和(b)哪个更大

正确答案:

(b)是较大的量

解释：

所参考的数字如下:
x平方

为了简单起见，假设正方形的边长为4。下面的推理与实际长度无关，选择4的原因在解释中会很明显。

而且是它们各自的中点，那么 QS = SX = 2 ,使 $\overline{QX}$ 斜边长为2和2的三角形的斜边因此,

$(QX ) ^{2}= (SQ)^{2}+ (SX)^{2} = 2^{2}+ 2^{2} = 4+ 4 = 8$ ．

同时, QA = 2 ，自从中点是 $\overline{AQ}$ ， AU = 1 ． AR = 4 ,使 $\overline{UR}$ 斜边长为1和4的三角形的斜边因此,

$(UR)^{2} = (AU)^{2}+ (AR)^{2} = 1^{2}+ 4^{2} = 1+ 16 = 17$

$(UR)^{2} >(QX ) ^{2}$ ,所以 UR > QX

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例子问题10:直角三角形

无标题的

图不是按比例画的。

在上图中， $\angle ABC$ 是直角。

长度是多少 $\overline{AC}$ ?

可能的答案:

$31\frac{1}{5}$

$36\frac{1}{5}$

$38 \frac{4}{5 }$

$33 \frac{4}{5 }$

正确答案:

$33 \frac{4}{5 }$

解释：

直角三角形距其直角顶点的高度将三角形分为两个小三角形，每个小三角形与大三角形相似。特别是,

$\bigtriangleup BXC \sim \bigtriangleup ABC$ ．

它们对应的边是成比例的，所以，设定斜边与短腿的比例相等，

$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{CX}$

$\frac{AC}{13} = \frac{13}{5}$

$\frac{AC}{13} \cdot 13 = \frac{13}{5} \cdot 13$

$AC = \frac{169}{5} = 33 \frac{4}{5 }$

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