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ISEE高层定量:如何找到变量的指数

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例子问题

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问题1:如何找到变量的指数

简化:

$\left (\frac{x^{3}}{2y^{4}} \right ) ^{-3}$

可能的答案:

$\frac{8 y^{12} }{x^{9} }$

$\frac{1}{2y}$

$\frac{8 y^{7} }{x^{6} }$

$\frac{8x^{6} }{ y^{7}}$

$\frac{8x^{9} }{ y^{12}}$

正确答案:

$\frac{8 y^{12} }{x^{9} }$

解释：

$\left (\frac{x^{3}}{2y^{4}} \right ) ^{-3} = \left (\frac{2y^{4}}{x^{3}} \right ) ^{3} = \frac{2^{3} \left (y^{4}\right ) ^{3} }{\left (x^{3} \right )^{3}}= \frac{8 y^{4 \cdot 3} }{x^{3\cdot 3} }= \frac{8 y^{12} }{x^{9} }$

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问题2:如何找到变量的指数

y>1

更大的是哪一个?

(一) $y ^{-2}$

(b) $y^{2}$

可能的答案:

(b)更大

(a)和(b)相等

从所给的信息是不可能判断的

(一)更大

正确答案:

(b)更大

解释：

如果 y > 1 ,然后 $y ^{2}> 1^{2} = 1$ 而且 $y ^{-2}= \frac{1}{y ^{2}} < \frac{1}{1} = 1$

$y ^{2}> 1> y ^{-2}$ ，所以通过传递性， $y ^{2}> y ^{-2}$ ，且(b)较大

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问题3:如何找到变量的指数

扩展: $(x + 1)^{10}$

哪个数量更大?

(a)的系数 $x^{3}$

(b)的系数 $x^{7}$

可能的答案:

从所给的信息是不可能判断的。

这两个量相等。

(b)更大。

(一)更大。

正确答案:

这两个量相等。

解释：

根据二项式定理，如果 $(x + 1)^{n}$ 展开，的系数是 $x^{r}$ 是

$_{n}\textrm{C} _{r} = \frac{n!}{(n-r)!r!}$ ．

(一)替代 n = 10, r = 3 的要挟 $x^{3}$ 是

$_{10}\textrm{C} _{3} = \frac{10!}{(10-3)!3!} = \frac{10!}{7!3!}$ ．

(b)替代 n = 10, r = 7 的要挟 $x^{7}$ 是

$_{10}\textrm{C} _{7} = \frac{10!}{(10-7)!7!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10!}{7!3!}$ ．

两者是相等的。

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问题4:如何找到变量的指数

更大的是哪一个?

(一) $\left (-2 \right )^{-3}$

(b) $\left ( \frac{1}{2} \right ) ^{3}$

可能的答案:

(b)更大。

(一)更大。

(a)和(b)相等。

从所给的信息是不可能判断的。

正确答案:

(b)更大。

解释：

$\left (-2 \right )^{-3} = \left ( -\frac{1}{2} \right )^{3}$

一个负数的奇次幂是负的，所以(A)中的表达式是负的。(b)中的表达式是正的，因为底数是正的。(b)更大。

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问题5:如何找到变量的指数

x>0

哪个数量更大?

(一) $(x + 5)^{3}- (x - 5)^{3}$

(b) 250

可能的答案:

从所给的信息是无法判断的。

(a)和(b)相等。

(一)更大。

(b)更大。

正确答案:

(一)更大。

解释：

简化表达式(a):

$(x + 5)^{3}- (x - 5)^{3}$

$=(x^{3}+ 3 \cdot x^{2} \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^{2}+ 5^{3}) -(x^{3}- 3 \cdotx^{2} \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^{2}- 5^{3})$

$=(x^{3}+15 x^{2}+75 x + 125) - (x^{3}-15 x^{2}+75 x- 125)$

$=x^{3}-x^{3}+15 x^{2}+15 x^{2}+75 x-75 x + 125+125$

$=30 x^{2} + 250$

自 x>0 ，

$(x + 5)^{3}- (x - 5)^{3}=30 x^{2} + 250 > 250$ ，

(一)大。

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第61题:变量

扩展: $(x + 2)^{10}$

哪个数量更大?

(a)的系数

(b)的系数 $x^{2}$

可能的答案:

(b)更大。

(一)更大。

从所给的信息是不可能判断的。

这两个量相等。

正确答案:

(b)更大。

解释：

利用二项式定理，如果 $(x + 2)^{n}$ 扩大, $x^{r}$ 项是

$_{n}\textrm{C} _{r} \cdot x^{r} \cdot 2 ^{n-r}$

$= \frac{n!}{(n-r)!r!} \cdot 2 ^{n-r} \cdot x^{r}$ ．

这使得 $\frac{n!}{(n-r)!r!} \cdot 2 ^{n-r}$ 的系数 $x^{r}$ ．

我们比较表达式at的值 n = 10 对于这两个 r = 1 而且 r = 2 ．

(一)如果 n = 10 而且 r = 1 ，系数为

$\frac{10!}{(10-1)!1!} \cdot 2 ^{10-1} = \frac{10!}{9!} \cdot 2 ^{9} =10 \cdot 512 =5,120$ ．

这是的系数．

(b)如果 n = 10 而且 r = 2 ，系数为

$\frac{10!}{(10-2)!2!} \cdot 2 ^{10-2} = \frac{10!}{8!2!} \cdot 2 ^{8} = \frac{ 9 \cdot 10}{2} \cdot 256 =11,520$ ．

这是的系数 $x^{2}$ ．

(b)为较大的数量。

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问题7:如何找到变量的指数

考虑到表达式 $\left (x^{2} y \right )^{3} \left (x y ^{2} \right )^{3}$

哪个数量更大?

(a)表达式在 x = 6, y = 10

(b)表达式在 x = y = 8

可能的答案:

(a)和(b)相等

(b)更大

(一)更大

从所给的信息是不可能判断的

正确答案:

(b)更大

解释：

利用幂函数的性质来简化表达式:

$\left (x^{2} y \right )^{3} \left (x y ^{2} \right )^{3}$

$= \left (x^{2} \right )^{3} y ^{3} \cdot x ^{3}\left ( y ^{2} \right )^{3}$

$= \left (x^{2} \right )^{3} \cdot x ^{3}\cdot y ^{3} \cdot \left ( y ^{2} \right )^{3}$

$= \left (x^{2 \cdot 3} \right ) \cdot x ^{3}\cdot y ^{3} \cdot \left ( y ^{2\cdot 3} \right )$

$= x^{6} \cdot x ^{3}\cdot y ^{3} \cdot y ^{6}$

$= x^{6+3} \cdot y ^{3+ 6}$

$= x^{9} y ^{9} = (xy)^{9}$

(一)如果 x = 6, y = 10 ,然后

$\left (x^{2} y \right )^{3} \left (x y ^{2} \right )^{3}= (xy)^{9} = ( 6 \cdot 10)^{9} = 60^{9}$

(b)如果 x = y = 8 ,然后

$\left (x^{2} y \right )^{3} \left (x y ^{2} \right )^{3}= (xy)^{9} = ( 8 \cdot 8)^{9} = 64^{9}$

(b)更大。

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问题8:如何找到变量的指数

下列哪个表达式是等价的

$\left (100 + \sqrt{x} \right )^{2}$ ?

可能的答案:

200-x

10,000-x

10,000+x

200+x

其他答案没有一个是正确的。

正确答案:

其他答案没有一个是正确的。

解释：

使用二项式模式的平方如下:

$\left (100 + \sqrt{x} \right )^{2}$

$= 100^{2}+ 2 \cdot 100 \cdot \sqrt {x} +(\sqrt{x})^{2}$

$= 10,000+ 2 00 \sqrt {x} +x$

这个表达式不等于任何选项。

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问题9:如何找到变量的指数

$y = (x+ 3)^{2}$

y = 16z

z = w - 6

表达而言,．

可能的答案:

$w = 16 x^{2}+ 96x+ 105$

$w = 16 x^{2}+ 96x+ 138$

$w = \frac{1}{16}x^{2}+ \frac{3}{8}x+ \frac{25}{16}$

$w = \frac{1}{16}x^{2}+ \frac{3}{8}x+ \frac{105}{16}$

$w = 16 x^{2}+ 96x+ 150$

正确答案:

$w = \frac{1}{16}x^{2}+ \frac{3}{8}x+ \frac{105}{16}$

解释：

$y = (x+ 3)^{2}$

$= x^{2}+ 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2}$

$= x^{2}+ 6 x + 9$

y = 16z ,所以

$16z = x^{2}+ 6 x + 9$

$\frac{16z}{16} = \frac{x^{2}+ 6 x + 9}{16}$

$z = \frac{1}{16}x^{2}+ \frac{3}{8}x+ \frac{9}{16}$

z = w - 6 ,所以

w = z+ 6

$= \frac{1}{16}x^{2}+ \frac{3}{8}x+ \frac{9}{16}+6$

$= \frac{1}{16}x^{2}+ \frac{3}{8}x+ \frac{9}{16} + \frac{96}{16}$

$= \frac{1}{16}x^{2}+ \frac{3}{8}x+ \frac{105}{16}$

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问题10:如何找到变量的指数

$a ^{3} = -17$ ．哪个数量更大?

(一) $a^{6}$

(b)

可能的答案:

(b)为较大的数量

(a)和(b)相等

根据所给的信息，不可能确定哪个更大

(a)为较大的数量

正确答案:

(a)为较大的数量

解释：

根据权力原则的权力，

$(a ^{3} )^{2} = a ^{3 \cdot 2 } = a ^{6}$

因此,

$a ^{6} = (a ^{3} )^{2} = (-17)^{2} = 17^{2} = 17 \cdot 17 = 289$

由此可见, $a ^{6} > - 34$

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