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ISEE高级数学:和弦

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例子问题

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问题1:如何确定和弦的长度

哪个方程是弦长的公式?

注意:圆的半径是，和是弦切下的角度。

可能的答案:

$4rsin(\frac{C}{2})$

$2rsin(\frac{C}{2})$

2rsinC

$rsin(\frac{C}{2})$

rsinC

正确答案:

$2rsin(\frac{C}{2})$

解释：

圆的弦长计算如下:

弦长= $2rsin(\frac{C}{2})$

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问题1:如何确定和弦的长度

圆的半径是 $5\ cm$ ，弦到圆心的垂直距离为 $4\ cm$ ．给出和弦的长度。

可能的答案:

$6\ cm$

$7.5\ cm$

$6.5\ cm$

$8\ cm$

$7\ cm$

正确答案:

$6\ cm$

解释：

弦长= $2\sqrt{r^2-d^2}$ ,在那里圆的半径是和吗是弦到圆心的垂直距离。

弦长= $2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{5^2-4^2}$

$=2\sqrt{25-16}=2\sqrt{9}=2\times 3$

$\Rightarrow$ 弦长= $6\ cm$

报告一个错误

问题3:如何确定和弦的长度

在下面的圆中，半径是 $5\ cm$ 弦长是 $8\ cm$ ．给出从弦到圆心的垂直距离(d)。

可能的答案:

$4.5\ cm$

$3.5\ cm$

$3\ cm$

$5\ cm$

$4.7\ cm$

正确答案:

$3\ cm$

解释：

弦长= $2\sqrt{r^2-d^2}$ ,在那里圆的半径是和吗是弦到圆心的垂直距离。

弦长= $2\sqrt{r^2-d^2}\Rightarrow 8=2\sqrt{5^2-d^2}\Rightarrow 4=\sqrt{5^2-d^2}$

$\Rightarrow 16=25-d^2\Rightarrow d^2=25-16=9$

$\Rightarrow d=3\ cm$

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问题4:如何确定和弦的长度

给出a和弦的长度 $90^{\circ }$ 半径为18的圆的圆心角。

可能的答案:

$9\sqrt{2}$

$18\sqrt{3}$

$18\sqrt{2}$

$9\sqrt{3}$

正确答案:

$18\sqrt{2}$

解释：

下图显示了 $\angle AOB$ ，和它的和弦符合这一描述 $\overline{AB}$ ：

通过等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是一个45-45-90的三角形，边长为18，所以它的斜边-期望的弦长——是 $\sqrt{2}$ 次,或 $18\sqrt{2}$ ．

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问题5:如何确定和弦的长度

一个 $60^{\circ}$ 圆的圆心角与弧的长度相交 $7 \pi$ ；它还有一个和弦。这个和弦的长度是多少?

可能的答案:

$7\sqrt{3}$

$14\sqrt{3}$

$\frac{21\sqrt{2}}{2}$

$14\sqrt{2}$

正确答案:

解释：

弧线被 $60^{\circ}$ 中央角是 $\frac{60}{360}= \frac{1}{6}$ 圆的周长是 $7 \pi \cdot 6 = 42\pi$ ．半径是周长除以 $2 \pi$ ,或 $42 \pi \div 2 \pi = 21$ ．

下图显示了一个 $60^{\circ}$ 中央角 $\angle AOB$ ，还有它的和弦 $\overline{AB}$ ：

通过等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是等边的，所以呢 AB = OA = 21 ．

报告一个错误

问题6:如何确定和弦的长度

一个 $120^{\circ }$ 圆的圆心角与弧的长度相交 $\frac{4 \pi}{3}$ ；它还有一个和弦。这个和弦的长度是多少?

可能的答案:

$\sqrt{2}$

$2 \sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2 \sqrt{3}$

正确答案:

$2 \sqrt{3}$

解释：

弧线被 $120^{\circ}$ 中央角是 $\frac{120}{360}= \frac{1}{3}$ 圆的周长是 $\frac{4 \pi}{3}\cdot 3= 4\pi$ ．半径是周长除以 $2 \pi$ ,或 $4\pi \div 2 \pi = 2$ ．

下图显示了一个 $120^{\circ}$ 中央角 $\angle AOB$ ，还有它的和弦 $\overline{AB}$ 和三角形平分线 $\overline{OM}$ ．

我们将集中讨论 $\Delta AOM$ ，这是一个30-60-90的三角形。根据30-60-90定理，

$OM = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

而且

$AM = OM \cdot \sqrt{3}= 1\sqrt{3}= \sqrt{3}$

的中点是 $\overline{AB}$ ,所以

$AB = 2 \cdot AM = 2 \sqrt{3}$

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问题7:如何确定和弦的长度

给出a和弦的长度 $60^{\circ }$ 半径20的圆的圆心角。

可能的答案:

$10\sqrt{3}$

$20\sqrt{2}$

正确答案不在其他选项中。

$10\sqrt{2}$

$20\sqrt{3}$

正确答案:

正确答案不在其他选项中。

解释：

下图显示了 $\angle AOB$ ，和它的和弦符合这一描述 $\overline{AB}$ ：

通过等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是等边的，所以呢 AB = OA = 20 ．

这个答案不在所给的选项中。

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问题8:如何确定和弦的长度

给出a和弦的长度 $120^{\circ }$ 有半径的圆的圆心角．

可能的答案:

$12 \sqrt{2}$

$18 \sqrt{2}$

$12 \sqrt{3}$

正确答案:

$12 \sqrt{3}$

解释：

下图显示了 $\angle AOB$ ，和它的和弦符合这一描述 $\overline{AB}$ 和三角形平分线 $\overline{OM}$ ．

我们将集中讨论 $\Delta AOM$ ，这是一个30-60-90的三角形。根据30-60-90定理，

$OM = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$

而且

$AM = OM \cdot \sqrt{3}= 6\sqrt{3}$

的中点是 $\overline{AB}$ ,所以

$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 6 \sqrt{3}= 12 \sqrt{3}$

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问题9:如何确定和弦的长度

图不是按比例绘制的

在上图中，计算．

可能的答案:

t = 18

t= 20

t = 16

t= 12

正确答案:

t= 12

解释：

如果一个圆的两个和弦在圆内相交，每个和弦各部分长度的乘积是相同的。换句话说,

40 t = 20 (t+12)

解分发:

40 t = 20 (t+12)

$40 t = 20 t+ 20 \cdot 12$

40 t = 20 t+ 240

减去 20t 从双方:

40 t- 20 t = 20 t+ 240 - 20 t

20 t = 240

两边同时除以20:

$20 t \div 20 = 240 \div 20$

t = 12

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问题10:如何确定和弦的长度

sec

在上图中， $\overline{NT}$ 与圆相切。

评估．

可能的答案:

$6\sqrt{6}$

$6 \sqrt{10}$

正确答案:

$6 \sqrt{10}$

解释：

如果一个割线和一个切线从割线外的一点构成一个圆，沿割线到圆的距离的平方等于沿割线到圆上两点的距离的乘积;换句话说,

$t^{2} = 12 \cdot (12+ 18) = 12 \cdot 30 = 360$

解：

$t^{2} = 360$

$t = \sqrt{360}$

使用自由基乘积原理简化自由基，并注意到36是360的最大完全平方因子:

$t = \sqrt{36} \cdot \sqrt{10} = 6 \sqrt{10}$

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