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高级数学:代数概念

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例子问题

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例子问题1:如何找到一个方程的解

求x:

$\ dpi {100} 3 x ^ {2} + 4 = 31$

可能的答案:

$\dpi{100} \pm 3$

$\dpi{100} \pm 9$

$\ dpi {100} 9$

$\dpi{100} \pm 1$

正确答案:

$\dpi{100} \pm 3$

解释：

首先，两边同时减去4:

$\ dpi {100} 3 x ^ {2} + 4 = 31-4$

$\ dpi {100} 3 x ^ {2} = 27$

接下来，两边同时除以3:

$\ dpi{100} \压裂{3 x ^{2}}{3} = \压裂{27}{3}$

$x ^ \ dpi {100} {2} = 9$

两边同时开根号:

$\ dpi{100} \√6 {x ^ {2}} = \ sqrt {9}$

$\dpi{100} x=\pm 3$

例子问题1:如何找到一个方程的解

解出 $x \ dpi {100}$ ：

$\dpi{100} \frac{x}{3}+22 = 45$

可能的答案:

$\ 69 dpi {100}$

$\ dpi {100} 3$

$\ 66 dpi {100}$

$\ 135 dpi {100}$

正确答案:

$\ 69 dpi {100}$

解释：

$\dpi{100} \frac{x}{3}+22 = 45$

$\dpi{100} \frac{x}{3}+22-22 = 45-22$

$\dpi{100} \frac{x}{3} = 23$

$\dpi{100} (3)\cdot \frac{x}{3} = 23\cdot (3)$

$\ x = 69 dpi {100}$

例子问题1:代数的概念

解出：

| 3x + 9| = 24

可能的答案:

$x = -5 \textrm{ or }x = 11$

$x = -11 \textrm{ or }x = 5$

$x = 5 \textrm{ or }x = 11$

$x = -5\textrm{ or }x = 5$

$x = -11 \textrm{ or }x = 11$

正确答案:

$x = -11 \textrm{ or }x = 5$

解释：

将其重写为复合语句并分别求解:

| 3x + 9| = 24

$3x + 9 = - 24 \textrm{ or }3x + 9 = 24$

3x + 9 = - 24

3x + 9 -9= - 24-9

3x = - 33

$3x\div 3 = - 33 \div 3$

x = -11

3x + 9 = 24

3x + 9 -9= 24-9

3x = 15

$3x\div 3 = 15 \div 3$

x = 5

例子问题1:方程

解出：

$\left (x -4 \right )\left( x +3 \right )= \left (x-2 \right) \left ( x-1\right )$

可能的答案:

$x = 1\textrm{ or }x = 7$

$x = 1\textrm{ or }x = 4$

$x = 3\textrm{ or }x = 4$

x = 7

x = 12

正确答案:

x = 7

解释：

箔每个两个表达式，然后求解:

$\left (x -4 \right )\left( x +3 \right )= \left (x-2 \right) \left ( x-1\right )$

$x ^{2} + 3 \cdot x -4\cdot x -4 \cdot 3 = x^{2} -1 \cdot x - 2 \cdot x + 2\cdot1$

$x ^{2} + 3 x -4 x -12 = x^{2} -1 x - 2x + 2$

$x ^{2} - x -12 = x^{2} - 3x + 2$

$x ^{2} - x -12 - x^{2} = x^{2} - 3x + 2 - x^{2}$

- x -12= - 3x + 2

求解得到的线性方程:

- x -12 +3x + 12 = - 3x + 2+3x+12

2x =14

$2x\div 2 =14 \div 2$

x = 7

例子问题1:如何找到一个方程的解

解出：

$x^{2} -10x = 24$

可能的答案:

$x=-2 \textrm{ or }x=12$

$x=-4\textrm{ or }x=6$

$x=-6\textrm{ or }x=4$

$x=-12 \textrm{ or }x=2$

$x=-6\textrm{ or }x=-4$

正确答案:

$x=-2 \textrm{ or }x=12$

解释：

首先，将所有非零项向左移动，以标准形式重写二次方程:

$x^{2} -10x = 24$

$x^{2} -10x -24= 24-24$

$x^{2} -10x -24= 0$

现在把二次表达式因式分解 $x^{2} -10x -24$ 分解成两个二项因子 (x + ?)(x + ?) ，将问号替换为两个乘积为的整数它的和是．这些数字是 -12,2 ,所以:

(x -12)(x + 2) = 0

$x-12 = 0 \Rightarrow x = 12$

或

$x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$

解集是 $\left \{ -2,12\right \}$ ．

例子问题6:代数的概念

解出：

$\left ( x-3\right )(2x-1) = 18$

可能的答案:

$x= - 1 \frac{1}{2} \textrm{ or } x= 5$

$x= - 5\textrm{ or } x= 1 \frac{1}{2}$

$x= -5 \textrm{ or } x= 3$

$x = 9\frac{1}{2} \textrm{ or }x=19$

$x= -3 \textrm{ or } x= 5$

正确答案:

$x= - 1 \frac{1}{2} \textrm{ or } x= 5$

解释：

首先，将二次方程改写为标准形式，将左边的积展开，然后收集左边的所有项:

$\left ( x-3\right )(2x-1) = 18$

$x\cdot 2x -x\cdot 1 -3 \cdot 2x +3\cdot 1= 18$

$2x^{2} -x -6x +3= 18$

$2x^{2} -7x +3= 18$

$2x^{2} -7x +3-18= 18 -18$

$2x^{2} -7x -15= 0$

使用二次表达式的因式分解方法 $2x^{2} -7x -15$ ；我们要通过找到两个和为的整数来分割线性项谁的产品是 2 (-15) = -30 ．这些整数是 -10,3 ,所以:

$(2x^{2} -10x)+(3x -15)= 0$

2x (x -5)+3(x -5)= 0

$\left (2x +3 \right) \left ( x-5 \right )= 0$

将每个表达式设为0并求解:

2x +3= 0

2x = -3

$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$

或

x-5= 0

x=5

解集是 $\left \{ - 1 \frac{1}{2}, 5\right \}$ ．

例子问题2:代数的概念

解出：

$x^{2} + 12 = 8x$

给出所有的解决方案。

可能的答案:

$x = 6 \textrm{ or }x = 8$

$x = -8 \textrm{ or }x = 8$

$x = -6 \textrm{ or }x =6$

$x = 2 \textrm{ or }x = 6$

$x = -6 \textrm{ or }x =- 2$

正确答案:

$x = 2 \textrm{ or }x = 6$

解释：

将这个二次方程写成标准形式:

$x^{2} + 12 = 8x$

$x^{2} -8x + 12 = 8x-8x$

$x^{2} -8x + 12 = 0$

把表达式分解到左边。我们想要两个整数，它们的和是谁的产品是．这些数字是 -6,-2 ，所以方程变成

(x-6)(x-2)=0 ．

将每个因子分别设为0，则求解:

$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

例子问题2:代数的概念

解出：

4 (x + 6) - 3 (x + 8) = 2 (x + 4) + 2 (x - 4)

可能的答案:

x = 0

x = 2

x =4

这个方程的解集是所有实数的集合。

这个方程没有解。

正确答案:

x = 0

解释：

两边都化简，得到:

4 (x + 6) - 3 (x + 8) = 2 (x + 4) + 2 (x - 4)

$4 \cdot x + 4 \cdot 6 - 3 \cdot x - 3 \cdot 8 = 2 \cdot x + 2 \cdot 4 +2 \cdot x - 2 \cdot 4$

4x + 24 - 3 x - 24 = 2x +8 +2 x -8

4x - 3 x+ 24 - 24 = 2x +2 x +8-8

$\left ( 4 - 3 \right ) x= \left ( 2 +2 \right ) x$

x= 4 x

x - 4x = 4 x - 4x

$\left (1 - 4 \right ) x = 0$

-3 x = 0

x = 0

例子问题2:代数的概念

3 (x + 2) + 4x = 5x + 2 (x +3)

可能的答案:

x = -2

x = 6

这个方程的解集是所有实数的集合。

这个方程没有解。

x = 0

正确答案:

这个方程的解集是所有实数的集合。

解释：

两边都化简，得到:

3 (x + 2) + 4x = 5x + 2 (x +3)

$3 \cdot x + 3 \cdot 2 + 4x = 5x + 2 \cdot x + 2 \cdot 3$

3x + 6 + 4x = 5x + 2x + 6

3x + 4x + 6 = 5x + 2x + 6

$\left ( 3 + 4 \right ) x + 6 = \left ( 5 + 2 \right ) x + 6$

7x + 6 =7 x + 6

这是一个完全正确的表述，所以原方程的解集是所有实数的集合。

例子问题2:方程

解出：

W = 5xp + 3q

可能的答案:

$p = \frac{W-3q}{5x}$

$p = \frac{W}{5x}-3q$

$p = \frac{W- 5x }{3q}$

$p = W-\frac{3q}{5x}$

$p = \frac{W}{3q }-5x$

正确答案:

$p = \frac{W-3q}{5x}$

解释：

5xp + 3q = W

5xp + 3q -3q = W-3q

5xp = W-3q

$5xp \div 5x =\left ( W-3q \right ) \div 5x$

$p =\frac{ W-3q }{5x}$

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