Hotmath
数学作业。做得更快，学得更好。

泰勒级数

一个函数 f 在某一点上说是连续的 x ＝ 一个 的极限 f （ x ） 作为 x 方法 一个 等于的值 f （ c ） 如果对的每个值都成立，则称函数是连续的 一个 在域中。多项式函数是连续的。

一个函数在某一点上是可微的，如果从左到右两个点的切线的斜率与从左到右两个点的切线的斜率接近相同的值。这个值称为这一点的导数。

一个函数可微的首要条件是它是连续的。

我们可以通过重复这个过程找到更高阶的导数它们被表示为 f ” ， f ″ ， f ‴ 等。

假设 f （ x ） 是一个函数所有衍生品 f ” ， f ″ ， f ‴ ， 存在于… x ＝ 一个 ．然后是泰勒级数 f （ x ） 幂级数

f （ 一个 ） + f ” （ 一个 ） 1 ！ （ x − 一个 ） + f ″ （ 一个 ） 2 ！ （ x − 一个 ） 2 + f ‴ （ 一个 ） 3. ！ （ x − 一个 ） 3. + ⋯

或者用符号表示，

∑ n ＝ 0 ∞ f （ n ） （ 一个 ） n ！ （ x − 一个 ） n

麦克劳林级数是泰勒级数在这种情况下 一个 ＝ 0 ．

泰勒级数的部分和叫做泰勒多项式．这些可以用来近似函数的邻域 x ＝ 一个 ．

例子:

求出函数的泰勒多项式

f （ x ） ＝ 罪 （ x ）

周围 x ＝ 0 ．

T 0 （ x ） ＝ f （ 0 ） ＝ 罪 （ 0 ） ＝ 0

T 1 （ x ） ＝ f （ 0 ） + f ” （ 0 ） （ x − 0 ） ＝ 罪 （ 0 ） + （ 因为 （ 0 ） ） （ x ） ＝ 0 + 1 ⋅ x ＝ x

T 2 （ x ） ＝ f （ 0 ） + f ” （ 0 ） （ x − 0 ） + f ″ （ 0 ） （ x − 0 ） 2 2 ！ ＝ 罪 （ 0 ） + （ 因为 （ 0 ） ） （ x ） + （ − 罪 （ 0 ） ） x 2 2 ＝ x

T 3. （ x ） ＝ f （ 0 ） + f ” （ 0 ） （ x − 0 ） + f ″ （ 0 ） （ x − 0 ） 2 2 ！ + f ‴ （ 0 ） （ x − 0 ） 3. 3. ！ ＝ 罪 （ 0 ） + （ 因为 （ 0 ） ） （ x ） + （ − 罪 （ 0 ） ） x 2 2 + （ − 因为 （ 0 ） ） x 3. 6 ＝ x − x 3. 6