幂级数与收敛半径
你熟悉不同类型的系列,如<一个href="//www.boatm8.com/hotmath/hotmath_help/topics/arithmetic-series.html">算术级数,<一个href="//www.boatm8.com/hotmath/hotmath_help/topics/geometric-series.html">几何级数等。
就其字面意义而言,如果级数接近某一特定值,则称其收敛。
更正式地说,如果级数的部分和的序列接近于极限,则称其收敛趋向于无穷。
类似地,如果部分和的序列没有极限或者极限等于正负无穷,那么这个级数是发散的。
示例1:
确定序列是否是收敛的还是发散的
考虑前几个部分和。
即,部分和的序列为没有极限。这个序列是发散的。
因此,本系列是不同的。
一个<年代trong>幂级数是系列的形式吗在哪里和是数字。的的系数通常称为级数的系数。
例如,级数是以0为中心的幂级数。
幂级数是因此它是收敛还是发散也取决于的值.级数对于的某些值可能收敛在其他值上可能会发散。
它保证了幂级数关于是收敛的.你可以看到上面的幂级数,收敛于为.
收敛半径是级数收敛于其中的一个大圆盘的半径。
幂级数收敛的最大区间称为收敛区间,这个区间位于幂级数的中心。注意,这个区间的一半等于收敛半径。它可以是非负实数,甚至是无穷大。
如果幂级数的收敛半径是否以点为中心,那么它对的值收敛这样和发散.
也就是说,级数在区间内收敛和发散和.
幂级数的收敛半径可以用比值判别法或根判别法来求。
利用比值测试,得到级数是收敛的这样.
使用根测试,一系列是收敛的这样.
示例2:
求幂级数的收敛半径.
给定的级数是一个以点为中心的幂级数.用比值判别法求收敛区间。
的限制,.
这个级数收敛于这样.
因此,收敛半径为收敛区间是.