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数学:理解并应用方程的概念

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例子问题

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例5:代数的概念

解决。

$\frac{x}{4}+11=15$

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了解出这个变量，，我们需要把它分离到方程的左边。我们将通过在方程两边执行相反的每个操作来反转对变量所做的操作来做到这一点。

我们先重写一下这个方程。

$\frac{x}{4}+11=15$

减去从等式两边。

$\frac{x}{4}+11-11=15-11$

简化。

$\frac{x}{4}=4$

方程两边乘以．

$\frac{x}{4}\times 4=4\times 4$

解决。

x=16

例子问题1:理解并应用方程的概念

给出不等式的解集

$\left | -4x + 13 \right | \ge 9$

可能的答案:

$\left ( -\infty, 1 \right ] \cup \left [ 5 \frac{1}{2} , \infty \right )$

$\left ( -\infty, -5 \frac{1}{2} \right ] \cup \left [ -1, \infty \right )$

$\left [ - 5\frac{1}{2}, -1 \right ]$

$\left [ -1, 5\frac{1}{2} \right ]$

$\left [ 1, 5\frac{1}{2} \right ]$

正确答案:

$\left ( -\infty, 1 \right ] \cup \left [ 5 \frac{1}{2} , \infty \right )$

解释：

$\left | -4x + 13 \right | \ge 9$ 可以写成复合不等式吗

$-4x + 13 \le - 9 \textup{ or } -4x + 13 \ge 9$ ．

解集是两个独立解集的并集。求第一个不等式的解集如下:

隔离先做减法从双方:

$-4x + 13 \le - 9$

$-4x + 13- 13 \le - 9 - 13$

$-4x \le -22$

两边除以，将不等号的方向颠倒，因为你在除以一个负数:

$-4x \div (-4){ \color{Red} \ge} -22 \div (-4)$

$x \ge 5\frac{1}{2}$ ．

在区间表示法中，这是集合 $\left [ 5 \frac{1}{2} , \infty \right )$ ．

类似地求另一个不等式的解集:

$-4x + 13 \ge 9$

$-4x + 13 - 13 \ge 9 - 13$

$-4x \ge -4$

$-4x \div (-4) \le -4 \div (-4)$

$x \le 1$

在区间表示法中，这是集合 $\left ( -\infty, 1 \right ]$ ．

这些集合的并集就是解集: $\left ( -\infty, 1 \right ] \cup \left [ 5 \frac{1}{2} , \infty \right )$ ．

问题11:代数的概念

2x+ 17 = 99

25%是多少吗?

可能的答案:

10.25

14.5

164

正确答案:

10.25

解释：

解出在等式中

2x+ 17 = 99

通过隔离在左边。通过将操作的顺序颠倒来实现这一点。

首先，两边同时减去17:

2x+ 17 -17 = 99 - 17

2x= 82

现在，两边同时除以2:

$2x \div 2 = 82 \div 2$

x = 41

求这个值的25%的一种方法是用41乘以25再除以100:

$\frac{41 \times 25}{100} = \frac{1,025}{100} = 10.25$ ，

正确的选择。

问题11:代数的概念

下面这个二次多项式的顶点是什么?

f(x) = 2x^2 - 3x + 17

可能的答案:

$(-\frac{4}{9},-\frac{58}{17})$

$(\frac{3}{4},\frac{127}{8})$

$(-\frac{5}{3},\frac{12}{7})$

$(\frac{4}{3},\frac{98}{17})$

$(-\frac{4}{23},-\frac{15}{17})$

正确答案:

$(\frac{3}{4},\frac{127}{8})$

解释：

给定一个二次函数

f(x)=ax^2 +bx+c

顶点总是

$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$ ．

因此，由于我们的函数是

f(x) = 2x^2 - 3x + 17

a=2 ， b=-3 , c=17 ．

我们把这些变量代入公式，得到顶点为

$(-\frac{-3}{2\times2},\frac{4\times2\times17-(-3)^2}{4\times2})$

$(-\frac{-3}{4},\frac{136-9}{8})$

$=(\frac{3}{4},\frac{127}{8})$ ．

因此，的顶点

f(x) = 2x^2 - 3x + 17

是

$(\frac{3}{4},\frac{127}{8})$ ．

例子问题1:二次方程

下列哪个表达式表示下列多项式的判别式?

f(x)=6x^2-3x+7

可能的答案:

$6-3\times4\times7$

$9-4\times3\times7$

$9-4\times6\times7$

$7-4\times6\times3$

$6-4\times3\times7+ 0.0028917$

正确答案:

$9-4\times6\times7$

解释：

二次多项式的判别式

f(x)=ax^2+bx+c

是由

b^2-4ac ．

因此，由于我们的二次多项式是

f(x)=6x^2-3x+7 ，

a=6 ， b=-3 , c=7 ．

将这些值代入判别式方程，我们发现判别式为

$9-4\times6\times7$ ．

例子问题1:二次方程

下列哪个多项式方程只有一个解?

可能的答案:

$4x^{2}+ 24x + 25 = 0$

$4x^{2}+ 16x + 25 = 0$

$4x^{2}+ 10x + 25 = 0$

$4x^{2}+ 20x + 25 = 0$

$4x^{2}+ 15x + 25 = 0$

正确答案:

$4x^{2}+ 20x + 25 = 0$

解释：

这种形式的多项式方程

$ax^{2}+bx+c = 0$

有一个且只有一个(实)解当且仅当它的判别式等于零——也就是说，如果它的系数满足方程

$b^{2}-4ac = 0$

在每个选项中， a = 4 而且 c = 25 的值就足够了满足这个方程。换元，得到

$b^{2}-4 (4)(25) = 0$

$b^{2}-400 = 0$

解出首先在等式两边同时加400

$b^{2}-400 + 400 = 0 + 400$

$b^{2} = 400$

两边取平方根:

$b =\pm \sqrt{400} = \pm 20$

的值匹配的选项是方程

$4x^{2}+ 20x + 25 = 0$

例子问题1:二次方程

给出方程解集的性质

(2x-5)(x+4) = -6

可能的答案:

两种不合理的解决方案

两种合理的解决方案

两个虚解

一个虚解

一个合理的解决方案

正确答案:

两种合理的解决方案

解释：

为了确定二次方程解集的性质，有必要首先用标准形式表示它

$ax^{2}+bx+c = 0$

要做到这一点，首先，使用FOIL技术将左边的二项式相乘:

(2x-5)(x+4) = -6

2x(x)+2x(4)-5(x)-5(4)= -6

$2x ^{2}+8x -5x-20= -6$

收集喜欢的术语:

$2x ^{2}+3x-20= -6$

两边加6:

$2x ^{2}+3x-20 + 6 = -6 + 6$

$2x ^{2}+3x-14= 0$

确定解集性质的关键是检验判别式 $b^{2} - 4ac$ ．设置 a = 2, b = 3, c= -14 ，则判别式的值为

$b^{2} - 4ac= 3^{2} -4(2)(-14) = 9 - (-112) = 9+112 = 121$

判别式是一个正数;此外，它是一个完全平方，等于11的平方。因此，解集包含两个有理解。

例子问题1:理解并应用方程的概念

下列哪个多项式方程只有一个解?

可能的答案:

$9x^{2} + 25 =20x$

$9x^{2} + 25 =40x$

$9x^{2} + 25 =50x$

$9x^{2} + 25 =30x$

$9x^{2} + 25 =10x$

正确答案:

$9x^{2} + 25 =30x$

解释：

一个标准形式的多项式方程

$ax^{2}+bx+c = 0$

有一个且只有一个(实)解当且仅当它的判别式等于零——也就是说，如果它的系数满足方程

$b^{2}-4ac = 0$

每个选项都可以写成标准形式，两边同时减去右边的项。其中一个选项可以改写为:

$9x^{2} + 25 =10x$

$9x^{2} + 25 - 10x =10x - 10x$

$9x^{2} - 10x + 25 =0$

通过类似的推理，其他四个选项可以写成:

$9x^{2} - 20x + 25 =0$

$9x^{2} - 30x + 25 =0$

$9x^{2} - 40x + 25 =0$

$9x^{2} - 50x + 25 =0$

在五种标准表格中， a= 9 而且 c = 25 ，因此有必要确定的值这就产生了一个零判别。相应的替换:

$b^{2}-4ac = 0$

$b^{2}-4(9)(25) = 0$

$b^{2}-900 = 0$

两边同时加900，开平方根:

$b^{2}-900 + 900 = 0+ 900$

$b^{2}= 900$

$b = \pm \sqrt{900} = \pm 30$

在五种标准形式中，

$9x^{2} - 30x + 25 =0$

符合这个条件。这是方程的标准形式

$9x^{2} + 25 =30x$ ，

正确的选择。

例子问题1:二次方程

给出方程解集的性质

$6x+ 2x^{2}+ 7= 0$ ．

可能的答案:

一个虚解

两种合理的解决方案

两个虚解

一个合理的解决方案

两种不合理的解决方案

正确答案:

两个虚解

解释：

为了确定二次方程解集的性质，有必要首先用标准形式表示它

$ax^{2}+bx+c = 0$

这可以通过简单地交换第一项和第二项来实现:

$6x+ 2x^{2}+ 7= 0$

$2x^{2}+6x+ 7= 0$

确定解集性质的关键是检验判别式 $b^{2} - 4ac$ ．设置 a = 2, b= 6, c= 7 ，则判别式的值为

$b^{2} - 4ac =6^{2} - 4(2)(7) = 36-56=-20$

判别式有一个负值。解集由两个虚值组成。

例子问题1:理解并应用方程的概念

给出方程解集的性质

$2x^{2}+ 5x = -17$

可能的答案:

两种合理的解决方案

两个虚解

一个合理的解决方案

一个虚解

两种不合理的解决方案

正确答案:

两个虚解

解释：

为了确定二次方程解集的性质，有必要首先用标准形式表示它

$ax^{2}+bx+c = 0$

这可以通过两边加17来实现:

$2x^{2}+ 5x+ 17 = -17+ 17$

$2x^{2}+ 5x+ 17 = 0$

确定解集性质的关键是检验判别式

$b^{2} - 4ac$ ．设置 a = 2, b = 5, c= 17 ，则判别式的值为

$5^{2} - 4(2)(17) = 25 - 136 = -111$

该值为负数。因此，解集包含两个虚数。

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