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高中数学:序列和级数

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例子问题

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问题24:之前的微积分

评估: $1 - \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + ...$

可能的答案:

其他答案都不对。

$\frac{5}{3}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{3}{5}$

正确答案:

$\frac{3}{5}$

解释：

这个和可以用无穷几何级数的和的公式来确定，有初始项 $a_{0} = 1$ 公比 $r = -\frac{2}{3}$ ：

$S = \frac{a_{0}} {1-r} = \frac{1} {1- \left ( -\frac{2}{3}\right ) } = \frac{1} {1+ \frac{2}{3} }= \frac{1} { \frac{5}{3} } =\frac{3}{5}$

问题1:序列与级数

等差数列的第四项是-20，第八项是-10。数列的第100项是多少?

可能的答案:

55

210

220

105

110

正确答案:

220

解释：

等差数列是连续项之间有一个公差的数列。例如，序列{2,5,8,11}是一个等差序列，因为每一项都可以通过在它前面的项加3来找到。

让 $a_{n}$ 表示序列的第n项。那么一般的等差数列可以用下面的公式:

a_n=a_1 +(n-1)d ，其中d是两个连续项之间的公差。

已知数列的第4项和第8项，可以写出如下等式:

a_4=a_1+(4-1)d=a_1+3d=-20

a_8=a_1+(8-1)d=a_1+7d=-10 。

我们现在有一个两个方程和两个未知数的方程组:

a_1+3d=-20

a_1+7d=-10

我们通过减去方程来解这个方程组 a_1+7d=-10 从方程中 a_1+3d=-20 。这个减法的结果是

-4d=-10 。

这意味着d = 2.5。

使用方程 a_1+7d=-10 ，我们可以找到序列的第一项。

a_1+7(2.5)=-10

a_1=-27.5

最后，我们被要求找出数列的第100项。

$a_{100}=a_1+(100-1)d=-27.5+99(2.5)=220$

答案是220。

问题1:序列与级数

如果可能的话，找出它们的和:

$3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...$

可能的答案:

$\frac{3}{2}$

$\frac{9}{2}$

正确答案:

$\frac{9}{2}$

解释：

无穷几何级数的求和公式是

$S= \frac{a_1}{1-r}$ ，

在哪里 a_1 级数的第一项是和吗是连续项之间的变化率。这里的关键是找到这些项之间的速率或模式。因为这是一个几何数列，速率是每个新项乘以的常数。

代入我们的值，得到:

$S = \frac{3}{1-\frac{1}{3}}$

$S=\frac{3}{\frac{2}{3}}$

$S = \frac{9}{2}$

问题2:序列与级数

如果可能的话，找出它们的和:

$8-6+\frac{9}{2}-\frac{27}{8}+...$

可能的答案:

$\frac{34}{7}$

$\frac{26}{7}$

$\frac{30}{7}$

$\frac{32}{7}$

$\frac{28}{7}$

正确答案:

$\frac{32}{7}$

解释：

无穷几何级数的求和公式是

$S= \frac{a_1}{1-r}$ ，

在哪里 a_1 级数的第一项是和吗连续项之间的变化率是一个序列吗

因为这两项互换了符号，我们知道速率一定是负的。

代入我们的值，得到:

$S = \frac{8}{1-(\frac{-3}{4})}$

$S = \frac{8}{\frac{7}{4}}$

$S = \frac{32}{7}$

问题1:序列与级数

如果可能的话，找出它们的和:

1-3+9-27+...

可能的答案:

6725

5267

没有解决方案

2765

7625

正确答案:

没有解决方案

解释：

无穷几何级数的求和公式是

$S= \frac{a_1}{1-r}$ ，

在哪里 a_1 级数的第一项是和吗是一系列中连续项之间的变化率。

为了使无穷等比级数有一个和，需要大于小于,即 -1<r<1 。

自 r=-3 ，没有解决办法。

问题1:使用Sigma符号

确定以下级数的求和符号:

3+9+27+81+243

可能的答案:

$\sum_{n=1}^{5}3^{n}$

$\sum_{n=1}^{\infty }n^{3}$

$\sum_{n=1}^{5}3$

$\sum_{n=1}^{5}n^3$

$\sum_{n=1}^{\infty }3^{n}$

正确答案:

$\sum_{n=1}^{5}3^{n}$

解释：

这个级数是一个几何级数。等比级数的求和符号是

$\sum_{n=1}^{n}a_{1}\cdot r^{n-1}$ ，

在哪里是级数中项的个数， $a_{1}$ 这个级数的第一项是什么是项之间的公比。

在这个系列中，是， $a_{1}$ 是,是。因此，这个几何级数的求和符号为:

$\sum_{n=1}^{5}3\cdot 3^{n-1}$

这简化为:

$\sum_{n=1}^{5}3^{n}$

问题5:序列与级数

确定以下级数的求和符号:

$10-5+\frac{5}{2}-\frac{5}{4}+\frac{5}{8}$

可能的答案:

$\sum_{n=1}^{\infty }-20\cdot (-\frac{1}{2})^{n}$

$\sum_{n=1}^{5}20\cdot (-\frac{1}{2})^{n}$

$\sum_{n=1}^{5}-20\cdot (\frac{1}{2})^{n}$

$\sum_{n=1}^{5}-20\cdot (-\frac{1}{2})^{n}$

$\sum_{n=1}^{5}-10\cdot (-\frac{1}{2})^{n}$

正确答案:

$\sum_{n=1}^{5}-20\cdot (-\frac{1}{2})^{n}$

解释：

这个级数是一个几何级数。等比级数的求和符号是

$\sum_{n=1}^{n}a_{1}\cdot r^{n-1}$ ，

在哪里是级数中项的个数， $a_{1}$ 这个级数的第一项是什么是项之间的公比。

在这个系列中，是， $a_{1}$ 是,是 $-\frac{1}{2}$ 。因此，这个几何级数的求和符号为:

$\sum_{n=1}^{5}10\cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$

这简化为:

$\sum_{n=1}^{5}10\cdot (-\frac{1}{2})^{n}\cdot (-\frac{1}{2})^{-1}$

$\sum_{n=1}^{5}10\cdot (-\frac{1}{2})^{n}\cdot (-2)$

$\sum_{n=1}^{5}-20\cdot (-\frac{1}{2})^{n}$

问题6:序列与级数

表示以下级数的和:

$\sum_{x=1}^{7}(4x-5)$

可能的答案:

111

正确答案:

解释：

等差级数的和的公式是

$S = \frac{n}{2}(2(a_1)+(n-1)d)$ ，

在哪里 a_1 是这个级数的第一个值，级数中的项数是多少是序列中顺序项之间的差。

在这个问题中我们有:

a_1 = -1

d = 4

n=7

代入我们的值，得到:

$S = \frac{7}{2}(2(-1)+(6)4)$

S = 3.5(-2+24)

S = 77

问题2:序列与级数

表示以下级数的和:

$\sum_{c=3}^{10}(8-5c)$

可能的答案:

正确答案:

解释：

等差级数的和的公式是

$S = \frac{n}{2}(2(a_1)+(n-1)d)$ ，

在哪里 a_1 是这个级数的第一个值，级数中的项数是多少是序列中顺序项之间的差。

这里有:

a_1 = -7

n=8

d = -5

代入我们的值，得到:

$S = \frac{8}{2}(2(-7)+(8-1)-5)$

S=4(-14-35)

S=-196

问题8:序列与级数

表示以下级数的和:

$\sum_{m=-2}^{9}(2)^m$

可能的答案:

1023.75

1032.25

1000.25

1302.75

1230.75

正确答案:

1023.75

解释：

等比级数的和的公式是

$S=\frac{a_1-a_1r^n}{1-r}$ ，

在哪里 a_1 是这个级数的第一项，是连续项之间的变化率，和级数中的项数是多少

对于这个问题，这些值是:

$a_1 = \frac{1}{4}$

r = 2

n = 12

代入我们的值，得到:

$S=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(2)^{12}}{1-2}$

S = 1023.75

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