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高中数学:多项式

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例子问题

问题11:多项式函数

当表达式等于0时，将多项式因式分解 $x=-6, -4,\ or\ 2$ ．

x^3+8x^2+4x-48

可能的答案:

(x+4)(x-2)(x-6)

(x+6)(x+4)(x-2)

(x-4)(x-2)(x+6)

(x-4)(x+2)(x-6)

正确答案:

(x+6)(x+4)(x-2)

解释：

知道了这些零，多项式因式分解就相对容易了。

表达式 (x+6)(x+4)(x-2) 符合零的描述。

现在我们需要检查答案。

(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8

$\small (x^2+2x-8)(x+6)=x^3+6x^2+2x^2+12x-8x-48=x^3+8x^2+4x-48$

我们可以回到最初的表达式，这意味着答案是 (x+6)(x+4)(x-2) ．

例子问题1:理解多项式的零

一个前导项的多项式 $x^{3}$ 6是三根。这个多项式是什么?

可能的答案:

$x ^{3} -216$

$x ^{3} + 18 x^{2}- 108x -216$

$x ^{3} - 18 x^{2}+ 108x -216$

$x ^{3} + 18 x^{2}+ 108x +216$

$x ^{3} +216$

正确答案:

$x ^{3} - 18 x^{2}+ 108x -216$

解释：

因为6是三次根，多项式的次是3，所以多项式是 $(x-6)^{3}$ ，我们可以使用二项式模式的立方展开。

$(x-6)^{3} =x ^{3} - 3\cdot x^{2} \cdot 6 + 3\cdot x\cdot 6 ^{2} -6^{3}$

$x ^{3} - 18 x^{2}+ 108x -216$

例子问题2:用线性因子乘积表示多项式

一个前导项的多项式 $x^ {3}$ 5和7是根;7是二重根。这个多项式是什么?

可能的答案:

$x^{3}+ 17x^{2} +95x +175$

$x^{3}- 17x^{2} +95x -175$

$x^{3}+ 19x^{2} +119x +245$

$x^{3} -12x^{2} + 35x$

$x^{3} - 19x^{2} + 119x -245$

正确答案:

$x^{3} - 19x^{2} + 119x -245$

解释：

因为5是单根，7是二重根，多项式的次是3，所以多项式为 $(x-5)(x-7)^{2}$ ．把它展开:

$(x-7)^{2} = x^{2} - 2 \cdotx\cdot 7 + 7^{2} = x^{2} - 14x + 49$

$(x-5)(x-7)^{2} =(x-5) \left ( x^{2} - 14x + 49 \right )$

$=x \left ( x^{2} - 14x + 49 \right ) -5\left( x^{2} - 14x + 4 9 \right )$

$= x^{3} - 14x^{2} + 49x - \left( 5x^{2} - 70x + 245 \right )$

$= x^{3} - 14x^{2} + 49x - 5x^{2} + 70x -245$

$= x^{3} - 19x^{2} + 119x -245$

问题14:之前的微积分

解决方案是什么 $y = x^{2} + x -6$ ?

可能的答案:

x = 5, x = 1

x = 6, x = -1

x = 3, x = -2

x = -6, x = 1

x = -3, x = 2

正确答案:

x = -3, x = 2

解释：

当我们求二次方程的解时，或者说求0时，我们求的是使输出为零。因此，我们首先分解方程。

$0 = x^{2} + x - 6 = (x+3)(x-2)$

然后，我们要寻找这些因子都等于0的值。

x + 3 = 0 意味着 x = -3

而且 x - 2 = 0 意味着 x = 2

因此，这些就是我们的解。

例子问题12:之前的微积分

求下列多项式的零点:

$f(x) = x^{4} - 4x^{3} - 7x^{2} + 22x + 24$

可能的答案:

x = -4, -1, 2, 3

x = -3, -2, 1, 4

x = -4, -2, 1, 3

x = -2, -1, 3, 4

x = -4, -3, 1, 2

正确答案:

x = -2, -1, 3, 4

解释：

首先，我们需要使用有理根定理找到多项式的所有可能有理根:

$\frac{\textup{factors of the constant}}{\textup{factors of the leading coefficient}}$

由于前导系数仅为1，我们可以尝试以下可能的(有理)根:

±1，±2，±3.±4,±6，±12日,±24

当我们把其中一个数字代入，我们希望方程最终等于零。我们来看看是0:

$f(-1)=(-1)^{4}-4(-1)^{3}-7(-1)^{2}+22(-1)+24$

f(-1)=1+4-7-22+24

f(-1)=0

因为函数等于零的时候是，多项式的一个因子为 (x+1) ．然而，这并不能帮助我们找到其他因素。我们可以用合成代换法作为一种比长除法更短的方法来分解方程。

$\textup{-1 } | \textup{ 1 -4 -7 22 24}$

$\small \textup{ -1 }\textup{ 5 }\textup{ 2 }\textup{ -24}$

$\frac{ }{\textup{ 1 -5 -2 24 }\textup{ 0}}$

现在我们可以这样分解函数:

$f(x)=(x+1)(x^{3}-5x^{2}-2x+24)$

我们重复这个过程，对第二项使用有理根定理来找到一个可能的零。让我们尝试：

$f(-2)=[(-2)+1][(-2)^{3}-5(-2)^{2}-2(-2)+24]$

f(-2)=(-1)(-8-20+4+24)=0

当我们用合成代入进行分解时 x=-2 时，得到如下结果:

$f(x)=(x+1)(x+2)(x^{2}-7x+12)$

利用二次因子分解规则，我们可以完全分解:

f(x)=(x+1)(x+2)(x-4)(x-3)

因此，的零 f(x) 是 x=-2, -1, 3, 4.

例子问题15:之前的微积分

化简如下多项式:

$(\frac{-a^{-2}b^{3}c^{-1}}{3a^{-4}b^{-1}c^{3}})^{-2}$

可能的答案:

$\frac{9c^{8}}{a^{4}b^{8}}$

$\frac{9b^{8}}{c^{8}a^{4}}$

$\frac{9a^{4}}{c^{8}b^{8}}$

$\frac{c^{8}}{9a^{4}b^{8}}$

$\frac{9a^{4}}{c^{8}b^{4}}$

正确答案:

$\frac{9c^{8}}{a^{4}b^{8}}$

解释：

为了简化多项式，首先组合类似的项:

$(\frac{-a^{-2}b^{3}c^{-1}}{3a^{-4}b^{-1}c^{3}})^{-2}$

$(\frac{-a^{2}b^{4}}{3c^{4}})^{-2}$

例子问题1:多项式

化简如下多项式函数:

$ab^{-2}(a^{2}b + a^{-1}b^{3}-a^{3}b^{-1})$

可能的答案:

$\frac{a^{3}}{b}+\frac{a^{4}}{b^{3}}$

$\frac{a^{3}}{b}-b+\frac{a^{4}}{b^{3}}$

$\frac{a^{3}}{b}+b-\frac{a^{4}}{b^{3}}$

$\frac{a^{3}}{b}+b^{2}-\frac{a^{4}}{b^{3}}$

$\frac{a^{3}}{b}-\frac{a^{4}}{b^{3}}$

正确答案:

$\frac{a^{3}}{b}+b-\frac{a^{4}}{b^{3}}$

解释：

首先，将外面的项与括号内的每一项相乘:

$ab^{-2}(a^{2}b + a^{-1}b^{3}-a^{3}b^{-1})$

$a^{3}b^{-1} + b-a^{4}b^{-3}$

将多项式重新排列为分数形式，我们得到:

$\frac{a^{3}}{b}+b-\frac{a^{4}}{b^{3}}$

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