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高中数学:寻找领域和范围

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例子问题

例子问题1:寻找领域和范围

下面函数的定义域是什么:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}+1}-\frac{1}{2}}$

可能的答案:

$x>\frac{1}{2}$

$\mathbb{R}$

正确答案:

$\mathbb{R}$

解释：

定义域被定义为变量x的可能值的集合。为了找到x的不可能值，我们应该:

a)设根号下的方程为零，寻找可能的x值，使根号内的表达式为负:

x^2+1=0

x^2=-1

不存在符合这个方程的x的实数，因为任何实数的平方都是正数，也就是说不可能是负数。

b)设分数函数的分母为零，寻找可能的x值:

$\sqrt[4]{x^2+1}-\frac{1}{2}=0$

现在我们可以解出x的方程:

$x^2+1=(\frac{1}{2})^4$

x不存在符合这个方程的实值。

根号永远是正的，分母永远不等于零，所以f(x)定义了所有x的实数，这意味着所有实数的集合都是f(x)的定义域，正确答案是 $\mathbb{R}$ ．

解决方案第二部分的备选方案:

在计算出根号下的表达式总是正的(a部分)之后，我们可以求解根号和分母，从而得到最小的可能值(最小值)。将x值设为零将得到分母可能的最小值。

x=0

$\sqrt[4]{x^2+1}-\frac{1}{2}=$

$\sqrt[4]{0+1}-\frac{1}{2}=$

$\frac{1}{2}>0$

这意味着分母总是大于1/2的正数;因此，通过设置x的任何实数，它不能等于零。因此，所有实数的集合是f(x)的定义域。

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例子问题1:寻找领域和范围

下面函数的定义域是什么?

$f(x)=\frac{1-2x}{\sqrt{x^2-x+\frac{1}{4}}}$

可能的答案:

$x\neq 1$

$x\neq -1$

$\mathbb{N}$

$x\neq \frac{1}{2}$

$x\neq -\frac{1}{2}$

正确答案:

$x\neq \frac{1}{2}$

解释：

定义域被定义为函数定义的所有x值的集合，即有一个实结果。负数的平方根没有定义，所以我们应该找到它发生的区间:

$x^2-x+\frac{1}{4} <0 \Rightarrow (x-\frac{1}{2})^2<0$

任何数的平方都是正的，所以还不能消去任何x值。

如果分母为零，表达式也没有定义。

找出使分母为0的x值:

$(x-\frac{1}{2})^2=0\Rightarrow (x-\frac{1}{2})=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

因此定义域为 $x\neq \frac{1}{2}$ ．

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例子问题1:寻找领域和范围

下面函数的定义域是什么:

$f(x)=\sqrt{x(x+4)-4x\sqrt{x}}$

可能的答案:

$0\leq x\leq 4$

x> 0

x> 1

$x\geq 0$

x> -4

正确答案:

$x\geq 0$

解释：

定义域被定义为自变量所有可能值的集合．首先,必须大于等于0，因为if x< 0 ,然后 $\sqrt{x}$ 将未定义。另外，根号下的总表达式，即。 $x(x+4)-4x\sqrt{x}$ 必须大于或等于零:

$f(x)=\sqrt{x(x+4)-4x\sqrt{x}}$

$=\sqrt{x^2+4x-4x\sqrt{x}}$

$= \sqrt{(x-2\sqrt{x})^2}$

$=\left | x-2\sqrt{x} \right |$

这意味着根号下的表达式总是正的，因此 f(x) 定义。因此，函数的定义域 f(x) 是 $x\geq 0$ ．

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