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GRE科目考试:数学:多项式的根

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例子问题

问题1:多项式的根

多项式的根是什么? f(x)=x^2-7x-44 ？

可能的答案:

x=11,-4

x=-11, x=4

以上皆非

x=-11,x=-4

正确答案:

x=11,-4

解释：

第一步:找出44的因数:

(1,44), (2,22), (4,11)

第二步:找出哪一对因子能给我中间的数。我们会选择 (4,11) ．

3 .使用和，我们需要得到．只有这样才能得到如果我有和．

第四步:写出这个三项式的因式:

(x-11)(x+4)

步骤5:要求解x，将每个括号设置为：

$(x-11)=0\rightarrow x=11$
$(x+4)=0\rightarrow x=-4$

这个方程的解是 x=11 和 x=-4 ．

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问题2:多项式的根

解出：

x^3-4x^2+x-4

可能的答案:

$x=\pm i,4$

$x=\pm1,-4$

x=1,4

x=-1,4

正确答案:

$x=\pm i,4$

解释：

第一步:按对分解:

x^3-4x^2+x-4=0

x^2(x-4)+1(x-4)=0

步骤2:重写分解:

(x^2+1)(x-4)=0

第三步:解x:

(x^2+1)=0;(x-4)=0
$\\ x^2=-1;x=4 \\\sqrt{x^2}=\pm\sqrt{-1}; x=4 \\x=\pm i;x=4$

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问题3:多项式的根

找到：

x^2+5x-6

可能的答案:

x=6

没有解存在

x=1

x=1,-6

正确答案:

x=1,-6

解释：

第一步:找出两个相乘为的数再加上．

我们会选择 6,-1 ．

步骤2:使用我们选择的数字进行因子分解:

(x+6)(x-1)=0

步骤3:为x的每个值求解每个括号。

$(x+6)=0 \implies x=-6$
$(x-1)=0\implies x=1$

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问题4:多项式的根

$Find\ all\ of\ the\ roots\ for\ the\ below\ polynomial:$

x^3+5x^2-3x-15=0

可能的答案:

$x= \sqrt{3}\ and\ -5$

$x=\pm \sqrt{3}\ and\ -5$

$x=3\ and\ 15$

$x=3\ and\ -15$

正确答案:

$x=\pm \sqrt{3}\ and\ -5$

解释：

根据代数基本定理，我们知道这个多项式必须存在3个根，因为它的次数是3。

为了求根，我们使用因子分组法:

x^3+5x^2-3x-15=0

首先把这些项分成两个二项:

(x^3+5x^2)(-3x-15)=0

然后从每组中取出最大公因数:

x^2(x+5)-3(x+5)=0

现在我们看到剩下的二项式就是最大公因数本身

$(x+5)\ is\ common\ to\ both\ terms\ so\ we\ can\ take\ it\ out:$

(x+5)(x^2-3)=0

我们令每个二项式等于零，然后求解:

$x+5=0\ so\ x=-5$

$x^2-3=0;\ so\ x^2=3\ which\ means:$

$x=\pm\sqrt{3}\ after\ taking\ the\ square\ root\ of\ both\ sides.$

$The\ 3\ roots\ are\ -5, {\sqrt{3}},\ and\ -\sqrt{3}$

报告错误

问题5:多项式的根

找出下面多项式的所有根:

f(x)=x^3+21-7x^2-3x

可能的答案:

$-21,\ 3\ and\ \frac{3}{7}$

$7,\ and\ \sqrt{3}$

$7,\ \sqrt{3}\ and\ -\sqrt{3}$

$3\ and\ \frac{3}{7}$

正确答案:

$7,\ \sqrt{3}\ and\ -\sqrt{3}$

解释：

为了求出多项式的根，我们必须先把它化成指数递减的标准形式:

f(x)=x^3+21-7x^2-3x

x^3-7x^2-3x+21

现在我们可以通过分组来使用因子，我们首先将这4项分成2个二项:

(x^3-7x^2)(-3x+21)

现在我们从每个二项中取出最大公因数:

x^2(x-7)-3(x-7)

我们可以看到，现在每一项都有相同的二项式作为公因数，所以我们化简得到:

(x-7)(x^2-3)

为了找到所有的根，我们将每个因子设为零并求解:

$x-7=0\ which\ gives\ us\ x=7$

$x^2-3=0\ which\ gives\ us\ x^2=3\ which\ then\ yields\ x=\pm \sqrt{3}$

$The\ roots\ are\ 7,\ \sqrt{3}\ and\ -\sqrt{3}$

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问题1:代数函数的分类

$How\ many\ total\ roots\ will\ a\ polynomial\ with\ the\ below\ roots\ have?$

$x=-\sqrt{5};\ x=7; and\ x=3+2i$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$If\ the\ complex\ root\ a+bi\ exists, then\ a-bi\ must\ also\ exist\ as\ a\ root.$

$If\ the\ irrational\ root\ a+\sqrt{b}\ exists,\ then\ the\ root\ a-\sqrt{b}\ must\ also\ exist.$

$Given\ that\ the\ above\ statements\ always\ hold\ true\ we\ know\ that:$

$If\ -\sqrt{5}\ exists\ as\ a\ root\, then\ +\sqrt{5}\ also\ exists\ as\ a\ root.$

$Also,\ if\ 3+2i\ exists\ as\ a\ root,\ then\ 3-2i\ must\ also\ exist\ as\ a\ root.$

$This\ gives\ us\ an\ additional\ 2\ roots\ above\ the\ 3\ roots\ we\ already\ know.$

$There\ will\ be\ a\ total\ of\ 5\ roots.$

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问题7:多项式的根

的根是什么 x^2-3x-10 ？

可能的答案:

5,-2

-5,2

正确答案:

5,-2

解释：

第一步:找出两个相乘为的数 $\large -10$ 再加上 $\large -3$ …

我们会选择 $\large -5, 2$

检查:

$\large (5)(-2)=-10$
$\large -5+2=-3$

我们有正确的数字…

第二步:对多项式因式分解…

$\large x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$

步骤3:将括号设置为零以得到根…

$\large (x-5)=0\implies x=5$

$\large (x+2)=0 \implies x=-2$

根是 $\large \large 5, -2$ ．

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问题8:多项式的根

找出下面多项式的所有根:

f(x)=x^3+5x^2-4x-20

可能的答案:

$-5\ and\ 2$

$-5,\ 4\ and\ -4$

$-4\ and\ 5$

$-5,\ 2\, and\ -2$

正确答案:

$-5,\ 2\, and\ -2$

解释：

为了找到多项式的根，我们必须分组分解:

x^3+5x^2-4x-20

分成两个二项:

(x^3+5x^2)(-4x-20)

从每个二项中取出最大公因数:

x^2(x+5)-4(x+5)

现在我们可以看到，每一项都有一个共同的二项式因子:

(x+5)(x^2-4)

将每个因子设为零，求解得到根:

$x+5=0\ and\ x^2-4=0$

$x=-5\ and\ x^2=4$

$x=-5\ and\ \sqrt{x^2}=\sqrt{4}\ so\ x=\pm2$

$The\ roots\ are\ -5,\ 2\ and\ -2$

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