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GRE科目考试:数学:拉格朗日定理

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例子问题

例子问题1:泰勒多项式的拉格朗日误差界

让 $P_{5}(x)$ 的五次泰勒多项式近似 f(x) = sin(x) ，中心为 x = 0 ．

多项式近似的拉格朗日误差是什么 sin(1) ?

可能的答案:

$\frac{1}{6!}$

$\frac{1}{7!}$

$\frac{1}{5!}$

正确答案:

$\frac{1}{7!}$

解释：

五次泰勒多项式逼近 sin(x) 集中在 x=0 是:

$sin(x) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$

拉格朗日误差是数列中下一项的绝对值，它等于 $\left |\frac{x^7}{7!} \right |$ ．

我们只需要在因此我们得到 $\frac{1^7}{7!} = \frac{1}{7!}$

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例子问题1:带误差界的交替级数

下面哪个级数不收敛?

可能的答案:

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{n!}{n^2 cos(n)}$

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$

$\sum_{i=0}^{\infty} 0.9999999999999^n$

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{n^2 ln (n)}{n!}$

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{n - 1}{ n^3 + 1}$

正确答案:

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{n!}{n^2 cos(n)}$

解释：

我们可以证明这个级数 $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{n!}{n^2 cos(n)}$ 使用比率检验进行发散。

$L = \lim_{n ->\infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n ->\infty } \left[\left(\frac{(n+1)!}{(n+1)^2 cos (n+1)} \div \frac{n!}{n^2 cos (n) }\right)\right]$

$= \lim_{n ->\infty} \frac{n^2(n+1)cos(n)}{(n+1)^2cos(n+1)} = \lim_{n ->\infty} \frac{n^2cos(n)}{(n+1)cos(n+1)}$

n^2 将主宰 (n+1) 因为这是一个高阶项。显然，L不会小于，这是绝对收敛所必需的。

或者，很明显远远大于 n^2 ，因此分子会使级数发散 $n^{th}$ 极限检验(因为这些项显然不收敛于零)。

通过交替级数检验、比值检验、等比级数检验和比较检验，其他级数收敛。

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例子问题1:拉格朗日乘数法

求的最小值和最大值 f(x,y)=2x-5y ，受此约束 x^2+y^2=144 ．

可能的答案:

f(4.46,11.14) 是最大值

f(4.46,-11.14) 是最小值

没有最大值或最小值

f(4.46,-11.14) 是最大值

f(-4.46,11.14) 是最小值

f(4.46,11.14) 是最大值

f(-4.46,-11.14) 是最小值

f(-4.46,11.14) 是最大值

f(4.46,-11.14) 是最小值

正确答案:

f(4.46,-11.14) 是最大值

f(-4.46,11.14) 是最小值

解释：

首先我们需要建立方程组。

$2=2\lambda x \rightarrow x=\frac{1}{\lambda}$

$-5=2\lambda y \rightarrow y=-\frac{5}{2 \lambda}$

x^2+y^2=144

现在我们代入这些约束条件。

$(\frac{1}{\lambda})^2+(-\frac{5}{2\lambda})^2=144$

$\frac{1}{\lambda ^2}+\frac{25}{4\lambda^2}=144$

$\frac{29}{4\lambda^2}=144$

现在我们解 $\lambda$

$\frac{29}{4\lambda^2}=144\rightarrow \lambda^2=\frac{29}{576}\rightarrow\lambda=\pm\sqrt{\frac{29}{576}}$

如果

$\lambda=\sqrt{\frac{29}{576}}$

$x=\frac{1}{\sqrt{\frac{29}{576}}}\approx 4.46$ ， $y=-\frac{5}{2\sqrt{\frac{29}{576}}}\approx -11.14$

如果

$\lambda=-\sqrt{\frac{29}{576}}$

$x=\frac{1}{\sqrt{\frac{29}{576}}}\approx -4.46$ ， $y=-\frac{5}{2\sqrt{\frac{29}{576}}}\approx 11.14$

现在代入这些值,变成原来的方程。

f(4.46,-11.14)=2(4.46)-5(-11.14)=64.62

f(-4.46,11.14)=2(-4.46)-5(11.14)=-64.62

我们可以由此得出结论 f(4.46,-11.14) 是最大值，和 f(-4.46,11.14) 是最小值。

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例子问题2:拉格朗日乘数法

求函数的绝对最小值 f(x,y) = x^2+y^2 受限于 x^2 +2y^2 = 1 ．

可能的答案:

$2\sqrt2$

$\frac{1}{2}$

$\sqrt2$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

让 g = x^2 +2y^2 为求绝对最小值，我们必须解由所给出的方程组

$\triangledown f = \lambda\triangledown g, g =1$ ．

所以这个方程组是

$f_x = \lambda g_x$ ， $f_y = \lambda g_y$ ， g =1 ．

求偏导，代入，就变成

$2x = \lambda(2x), 2y = \lambda(4y), x^2+2y^2 = 1$ ．

从左边的方程可以看出 x=0 或 $\lambda = 1$ ．如果 x=0 ，然后代入其他方程，我们可以解出 $y, \lambda$ ，并得到 $y = \pm \sqrt{2}/2$ ， $\lambda = 1/2$ ，给出两个极端的候选点 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

另一方面，如果相反 $\lambda =1$ 这个力 y = 0 从第二个方程，和 $x = \pm 1$ 从第三个方程。这给了我们两个更极端的候选点; (-1,0),(1,0) ．

把我们找到的四个点，代回去，我们有

$f(-1,0) = 1, f(1,0) = 1, f(0,\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}, f(0,-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$ ．

因此，绝对最小值为 $\frac{1}{2}$ ．

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