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微分方程:待定系数

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例子问题

例子问题1:待定系数

用待定系数解给定微分方程。

y''-8y'+16y=24x+2

可能的答案:

$y=c_1xe^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{8}{7}$

$y=c_1e^{4x}+c_2e^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{2}{3}x+\frac{7}{8}$

正确答案:

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

解释：

首先求解齐次部分:

$\\y''-8y'+16y=0 \\m^2-8m+16=0 \\(m-4)(m-4)=0$

因此, m=4 重根是互补解吗 y_c 是,

$y_c=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}$

现在找出剩下的补充解 y_p ．

$\\y_p=Ax+B \\y_p'=A \\y_p''=0$

现在求解而且．

$\\0-8A+16(Ax+B)=24x+2 \\-8A+16Ax+16B=24x+2$

在哪里

$\\16A=24 \\\\A=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$

而且

$\\-8A+16B=2 \\\\-8\left(\frac{3}{2} \right )+16B=2 \\\\-\frac{24}{2}+16B=2 \\\\-12+16B=2 \\\\16B=14 \\\\B=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$

因此,

$y_p=\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

现在，把两个互补解结合起来得到通解。

$\\y=y_c+y_p \\y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

报告错误

例子问题1:待定系数

求通解 $y'' - 3y' - 4y = -25\cos(2t)$ ．

可能的答案:

$y = c_1e^{4t} + c_2e^{-t} + 4\cos(3t)$

$y = c_1e^{4t} + c_2e^{-t} + 2\sin(3t) + \frac{3}{2}\cos(3t)$

$y =\frac{3}{2}\sin(3t) + 2\cos(3t)$

$y = c_1e^{4t} + c_2e^{-t} + \frac{3}{2}\sin(3t) + 2\cos(3t)$

$y = 2\sin(3t) + \frac{3}{2}\cos(3t)$

正确答案:

$y = c_1e^{4t} + c_2e^{-t} + \frac{3}{2}\sin(3t) + 2\cos(3t)$

解释：

这是一个高阶非齐次线性微分方程。由于不均匀性是余弦，我们将使用参数的变化来解决它。

首先，我们找到特征方程来求解齐次解。这给了我们 $\lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda -4)(\lambda + 1) = 0$ ．

这告诉我们齐次解是 $c_1e^{4t} + c_2e^{-t}$ ．由于这些都不与我们的非均匀性重叠，我们可以安全地继续，而不添加因子t。

因此，让我们来猜测一下 $y_p = a_1\sin(2t) + a_2\cos(2t)$ ．然后,

$y_p' = 4a_1\cos(2t) - 4a_2\sin(2t)$ 而且

$y_p'' = -4a_1\sin(2t) - 4a_2\cos(2t)$

代入原方程，我们有

$\sin(2t)(-4a_1 + 6a_2 -4a_1) + \cos(2t)(-4a_2 - 6a_1 -4a_2) = -25\cos(2t)$

这意味着 -8a_1 + 6a_2 = 0 而且 -8a_2 - 6a_1 = -25 ．用代换法求解，

$a_1 = \frac{3}{4}a_2$

$-8a_2 - \frac{9}{2}a_2 = -\frac{25}{2}a_2 = -25; a_2 = 2$

$a_1 = \frac{3}{2}$

因此，特解是 $y_p = \frac{3}{2}\sin(2t) + 2\cos(2t)$ 总体解是特项加上齐次项。

所以

$y = c_1e^{4t} + c_2e^{-t} + \frac{3}{2}\sin(3t) + 2\cos(3t)$

报告错误

问题11:高阶微分方程

求出下列微分方程的特解形式，可用于待定系数法:

$y'' + 3y= t^{2}e^{2t}$

可能的答案:

特解的形式是 $e^{2t}(At^2+Bt+C)$ A B C都是实数。

特解的形式是 $Ae^{2t}(Bt^2)$ 其中A和B是实数。

特解的形式是 $e^{2t}(At^2+Bt)$ 其中A和B是实数。

特解的形式是 $e^{2t}(At^3+Bt^2+Ct+D)$ A B C D都是实数。

正确答案:

特解的形式是 $e^{2t}(At^2+Bt+C)$ A B C都是实数。

解释：

我们首先注意到微分方程有特征方程

r^2+3=0 ，

因为这个特征多项式的根与强迫函数线性无关

$t^{2}e^{2t}$ ，

我们简单地用待定系数组合规则来计算特解的形式

$e^{2t}(At^2+Bt+C)$

报告错误

例子问题3:待定系数

考虑微分方程

y''+2y'+2y = t^2sin(2t)

待定系数的特解是什么形式?

可能的答案:

特解的形式为:

$y_{p} = (At^2+Bt+C)sin(2t)$

A B C都是实数

特解的形式为:

$y_{p} = (At^2+Bt+C)sin(2t) + (Dt^2+Et+F)cos(2t)$

A,B,C,D,E和F是实数

特解的形式为:

$y_{p} = (At^2)sin(2t)$

A是实数

特解的形式为:

$y_{p} = (At^2)sin(2t) + (Bt^2)cos(2t)$

A和B是实数

正确答案:

特解的形式为:

$y_{p} = (At^2+Bt+C)sin(2t) + (Dt^2+Et+F)cos(2t)$

A,B,C,D,E和F是实数

解释：

我们首先算出强迫函数 t^2sin(2t) 与用特征方程解的齐次解线性无关。

因此，利用适当的待定系数函数规则，特解为:

$y_{p} = (At^2+Bt+C)sin(2t) + (Dt^2+Et+F)cos(2t)$

重要的是要注意，当使用正弦或余弦时，正弦和余弦都必须出现在特解猜想中。

报告错误

问题11:高阶微分方程

用待定系数法求解微分方程的特解。

$y''-2y' +5y = 4e^{3t}$

可能的答案:

$y_{p} = \frac{e^{3t}}{3}$

$y_{p} = \frac{e^{3t}}{2}$

$y_{p} = 2e^{3t}$

$y_{p} = 3e^{3t}$

正确答案:

$y_{p} = \frac{e^{3t}}{2}$

解释：

我们首先假设特解必须是这样的形式

$y_{p} =Ae^{3t}$ ．

然后我们用这个假设解一阶二阶导数，

$y_p'=3Ae^{3t}$ 而且 $y_p''=9Ae^{3t}$ ．

然后我们把这些量代入给定的方程，得到:

$9Ae^{3t}-6Ae^{3t} +5Ae^{3t} = 4Ae^{3t}$ ，可解为 $A = \frac{1}{2}$ ．

因此，用待定系数法，这个微分方程的特解是:

$y_p=\frac{e^{3t}}{2}$

报告错误

例子问题1:待定系数

用待定系数解给定微分方程。

y''-8y'+16y=24x+2

可能的答案:

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{8}{7}$

$y=c_1e^{4x}+c_2e^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{2}{3}x+\frac{7}{8}$

$y=c_1xe^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

正确答案:

$y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

解释：

首先求解齐次部分:

$\\y''-8y'+16y=0 \\m^2-8m+16=0 \\(m-4)(m-4)=0$

因此, m=4 重根是互补解吗 y_c 是,

$y_c=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}$

现在找出剩下的补充解 y_p ．

$\\y_p=Ax+B \\y_p'=A \\y_p''=0$

现在求解而且．

$\\0-8A+16(Ax+B)=24x+2 \\-8A+16Ax+16B=24x+2$

在哪里

$\\16A=24 \\\\A=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$

而且

$\\-8A+16B=2 \\\\-8\left(\frac{3}{2} \right )+16B=2 \\\\-\frac{24}{2}+16B=2 \\\\-12+16B=2 \\\\16B=14 \\\\B=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$

因此,

$y_p=\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

现在，把两个互补解结合起来得到通解。

$\\y=y_c+y_p \\y=c_1e^{4x}+c_2xe^{4x}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}$

报告错误

例子问题1:待定系数

求下列微分方程的特解形式(不解)

$y^{''} + 4y = 4t^3\sin{3t}$

可能的答案:

其他答案都没有。

$(A_3t^4+A_2t^3+A_1t^2+A_0t)\cos{3t} + (B_3t^4+B_2t^3+B_1t^2+B_0t)\sin{3t}$

$(A_3t^3+A_2t^2+A_1t+A_0)\cos{3t} + (B_3t^3+B_2t^2+B_1t+B_0)\sin{3t}$

$(A_3t^4+A_2t^3+A_1t^2+A_0t)e^{-3t}\cos{t} + (B_3t^4+B_2t^3+B_1t^2+B_0t)e^{-3}\sin{t}$

$(A_3t^4+A_2t^3+A_1t^2+A_0t)e^{-t}\cos{3t} + (B_3t^4+B_2t^3+B_1t^2+B_0t)e^{-t}\sin{3t}$

正确答案:

$(A_3t^4+A_2t^3+A_1t^2+A_0t)\cos{3t} + (B_3t^4+B_2t^3+B_1t^2+B_0t)\sin{3t}$

解释：

特解的猜想形式是

$(A_3t^4+A_2t^3+A_1t^2+A_0t)\cos{3t} + (B_3t^4+B_2t^3+B_1t^2+B_0t)\sin{3t}$

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