例子问题
例子问题1:可分离变量
用分离变量法求解给定的微分方程。
要解这个微分方程用分离变量法。这意味着移动所有包含方程的一边和所有包含到另一边去。
首先,两边乘以.
然后除以两边都是。
接下来,除以两边都是。
从这里开始对两边积分。记住对数函数的规则,因为它们将在这个问题中使用。
例子问题1:可分离变量
求解下面的微分方程
这是一个可分离变量微分方程。第一步是将所有的x项(包括dx)移到一边,所有的y项(包括dy)移到另一边。
我们给出的微分方程是:
重新排列后是这样的:
此时,为了求出y,我们需要对两边求不定积分:
等于:
因为这个不定积分是没有边界的,我们需要包括一般常数C
求y时,两边同时取e的幂
简化后的结果是:
例子问题1:一阶微分方程
求解可分离变量微分方程:与.
解可分离变量微分方程最简单的方法就是重写作为通过滥用符号,“两边都乘以dt”这个收益率
.
接下来,我们得到dy的y项和dt的t项,然后积分。因此,
结合积分常数和指数,我们有
正负和可以组合成另一个任意常数,得到.
代入初始条件,我们有
而且
例子问题1:可分离变量
求解ODE的通解:
C是任意常数
C是任意常数
C是任意常数
C是任意常数
C是任意常数
首先将微分方程分解为:
然后简单地积分为:
例子问题1:可分离变量
下面的微分方程是可分离的吗?如果是,方程如何分离?
微分方程是可分离的,即:
微分方程是可分离的,即:
这个微分方程是自治的,因此是不可分离的。
微分方程是可分离的,即:
微分方程是可分离的,即:
使用指数法则,我们注意到就变成了.这意味着
微分方程等价于:
通过分离变量得到:
例子问题1:可分离变量
下面的微分方程是可分离的,如果是,方程是如何分离的?
微分方程是可分离的,即:
微分方程是可分离的,即:
微分方程是不可分离的。
微分方程是可分离的,即:
微分方程是不可分离的。
微分方程不能写成因此是不可分离的。
例子问题1:可分离变量
用分离变量法求解给定的微分方程。
要解这个微分方程用分离变量法。这意味着移动所有包含方程的一边和所有包含到另一边去。
首先,两边乘以.
然后除以两边都是。
接下来,除以两边都是。
从这里开始对两边积分。记住对数函数的规则,因为它们将在这个问题中使用。
例子问题1:可分离变量
求解如下初值问题:,.
这是一个可分离变量微分方程。解决这个问题最简单的方法是先重写作为然后滥用符号"两边都乘以dt "这个收益率.然后将所有y项与dy组合并积分,得到.解出y,我们有.加上我们的条件,我们发现.两边取-1/3次方.因此,我们的最终解是
例子问题1:可分离变量
解以下方程
这是一个可分离ODE,重新排列
集成
代入初始条件,求解得到
解给了我们