例子问题
问题1:常微分方程的数值解
用欧拉法计算近似值在哪里是下式初值问题的解。
用欧拉法求函数
首先代入
因此
在哪里表示步长。
让
将这些值代入前面的公式中,并以这种方式继续下去,直到得到的近似值是发现。
因此,
问题51:微分方程
近似为有时间步长和。
近似为有时间步长和。
欧拉近似的公式。
插入,我们有
在这里,我们可以看到我们被困在水平切线上(当使用较大的时间步长时,欧拉方法的失败)。由于函数不依赖于t,我们将继续在水平线上移动剩下的欧拉近似。因此。
问题1:常微分方程的数值解
用欧拉法计算近似值在哪里是下式初值问题的解。
用欧拉法求函数
首先代入
因此
在哪里表示步长。
让
将这些值代入前面的公式中,并以这种方式继续下去,直到得到的近似值是发现。
因此,
问题1:常微分方程的数值解
使用隐式的用欧拉法近似为,考虑到,使用时间步长为
在隐式方法中,增加的量由在这种情况下。注意,你不能直接代入这种形式的方程,因为它是隐式的是在两边。值得庆幸的是,这是一个非常简单的形式,您可以显式地求解。否则,你就得用近似法比如牛顿法来求。明确地求解,我们有和。
因此,
这样,我们就得到了最后的答案
问题1:欧拉方法
用欧拉法的两个步骤在
到小数点后三位
4.428
4.420
4.408
4.413
4.425
4.425
欧拉法告诉我们
迈出一步
再走一步
问题1:常微分方程的数值解
Adams-Bashforth两步逼近法采用近似格式。
考虑到和,使用Adams-Bashforth方法进行近似为步长为
在这个问题中,我们有两个点,所以我们可以马上开始代入。如果不是,我们可以近似用显式欧拉法求解。
插进,我们有
。
注意,对于如此大的时间步长,我们的近似可能不是很好,但是无论精度如何,过程都不会改变。
问题1:常微分方程的数值解
求二阶边值问题的解。,,。
边值问题没有解。
的特征方程是,解为。因此,齐次问题的通解为。代入条件,我们得到,所以。代入第二个条件,我们得到这。
因此,最终的解决方案是。
问题1:常微分方程的数值解
求二阶边值问题的解。,,。
边值问题没有解。
边值问题没有解。
的特征方程是解为。这告诉我们齐次方程的解是。代入条件,我们得到如此......以至于......。代入第二个条件,我们有这显然是错误的。
这个问题证明了初值问题和边值问题的重要区别:边值问题并不总是有解。这是我们找不到的一个这样的例子满足我们的条件。