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微分方程:非齐次线性方程组

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例子问题

例子问题1:非齐次线性系统

求解如下方程组。 $\mathbf{x'} =\begin{bmatrix} -4&2 \\ -1&-1 \end{bmatrix}\mathbf{x} + e^{3t}\begin{bmatrix} 3\\4 \end{bmatrix}$

可能的答案:

一个 $\mathbf{x} =c_1e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + e^{5t}\begin{bmatrix} \frac{4}{3}\\ \frac{7}{8} \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} =c_1e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + e^{5t}\begin{bmatrix} 3\\ \frac{7}{8} \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} =c_1e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + e^{3t}\begin{bmatrix} 2\\ \frac{7}{8} \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} =c_1e^{2t}\begin{bmatrix} -2\\-1 \end{bmatrix} + c_2 e^{3t}\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} + e^{5t}\begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}$

$\mathbf{x} =c_1e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + e^{3t}\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ \frac{5}{6} \end{bmatrix}$

正确答案:

$\mathbf{x} =c_1e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + e^{3t}\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ \frac{5}{6} \end{bmatrix}$

解释：

首先，我们需要补解，以及齐次方程组的基本矩阵。由此，我们得到了所给出的矩阵的特征方程。

$\begin{vmatrix} \lambda+4 &-2 \\ 1& \lambda +1 \end{vmatrix} = (\lambda+4)(\lambda+1) +2 = \lambda^2 + 5\lambda +6 = (\lambda + 3)(\lambda + 2) = 0$

使用 $\lambda = -2, -3$ ，然后通过求解特征空间来找到特征向量。

$\lambda = -2$

$\begin{bmatrix} 2 & -2 &\vline &0 \\ 1& -1 &\vline & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 &\vline &0 \\ 0& 0 &\vline & 0 \end{bmatrix}$

这是有解的 x_1 - x_2 = 0 ,或 $x_1\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ．所以一个合适的特征向量很简单 $\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$ ．

重复的 $\lambda = -3$ ，

$\begin{bmatrix} 1 & -2 &\vline &0 \\ 1& -2 &\vline & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 &\vline &0 \\ 0& 0 &\vline & 0 \end{bmatrix}$

这是有解的 x_1 - 2x_2 = 0 ，则合适的特征向量为 $\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}$ ．因此，我们的互补解是 $\mathbf{x} = c_1e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}$ 我们的基本矩阵(虽然在这种情况下，不是矩阵指数)是 $X = \begin{bmatrix} e^{-2t} &2e^{-3t} \\ e^{-2t}&e^{-3t} \end{bmatrix}$ ．参数的变化告诉我们特解是由 $\mathbf{x}_p = X\int X^{-1}f(t)dt$ ，所以首先我们找到 $X^{-1}$ 使用2x2矩阵的逆法则。因此, $X^{-1} = -\frac{1}{e^{-5t}}\begin{bmatrix} e^{-3t} &-2e^{-3t} \\ -e^{-2t}&e^{-2t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -e^{2t} &2e^{2t} \\ e^{3t}&-e^{3t} \end{bmatrix}$ ．代入，我们有 $X^{-1}f(t) = \begin{bmatrix} -e^{2t} &2e^{2t} \\ e^{3t}&-e^{3t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3e^{3t}\\4e^{3t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5e^{5t}\\-e^{6t} \end{bmatrix}$ ．所以 $\intX^{-1}f(t)dt = \begin{bmatrix} \int5e^{5t}dt\\ \int-e^{6t}dt \end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix} e^{5t}\\ -\frac{e^{6t}}{6} \end{bmatrix}$ ．

最后，我们有 $\mathbf{x}_p = X\int X^{-1}f(t)dt = \begin{bmatrix} e^{-2t} &2e^{-3t} \\ e^{-2t}&e^{-3t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{5t}\\ -\frac{e^{6t}}{6} \end{bmatrix} = e^{3t}\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ \frac{5}{6} \end{bmatrix}$ ．

把特解加到齐次方程上，就得到了的通解 $\mathbf{x} =c_1e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + e^{3t}\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ \frac{5}{6} \end{bmatrix}$

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