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抽认卡:拉普拉斯变换

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求下面函数的拉普拉斯变换。

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s>5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+3}, s>-5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s<-5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s-5}, s>-5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s>-5$

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求下面函数的拉普拉斯变换。

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}$

你的答案:

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s>5$

你的答案:

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+3}, s>-5$

你的答案:

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s<-5$

你的答案:

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s-5}, s>-5$

正确答案:

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s>-5$

解释：

求下面函数的拉普拉斯变换

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t}\end{Bmatrix}$

将变换用于基本函数，其中，

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}=\frac{1}{s}$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{at} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\int_0^\infty e^{-st}e^{-5t}dt=\int_0^\infty e^{-(s+5)t} dt$

$\\=\frac{-e^{-(s+5)t}}{s+5}\bigg|_0^\infty \\\\=\frac{1}{s+5}, s>-5$

抽认卡:拉普拉斯变换

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求周期函数的拉普拉斯变换。

$S(t)=\left\{\begin{matrix} 1,& 0\leq2\\ 0, & 2\leq4 \end{matrix}\right.$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1-e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{s})}$

$\frac{1}{s(1-e^{-2s})(1+e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{2s})(1+e^{-s})}$

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求周期函数的拉普拉斯变换。

$S(t)=\left\{\begin{matrix} 1,& 0\leq2\\ 0, & 2\leq4 \end{matrix}\right.$

你的答案:

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1-e^{-s})}$

你的答案:

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{s})}$

你的答案:

$\frac{1}{s(1-e^{-2s})(1+e^{-s})}$

你的答案:

$\frac{1}{s(1+e^{2s})(1+e^{-s})}$

正确答案:

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

解释：

这个特殊的分段函数叫做方波。这个函数的周期是函数返回起始点的长度。

对于这个函数

$S(t)=\left\{\begin{matrix} 1,& 0\leq2\\ 0, & 2\leq4 \end{matrix}\right.$

它有一个周期

T=4 ．

此外,

f(t+4)=f(t)

利用一个周期函数定理的变换，

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} f(t) \end{Bmatrix}=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^T e^{-sT}f(t)dt$

这个问题可以用以下方法解决。

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} S(t) \end{Bmatrix}=\frac{1}{1-e^{-4s}}\int_0^4 e^{-st}S(t)dt$

$\\=\frac{1}{1-e^{-4s}}\left[ \int_0^2 e^{-st}\cdot 1 dt+\int_2^4 e^{-st}\cdot 0dt \right] \\\\=\frac{1}{1-e^{-4s}}\frac{1-e^{-s}}{s}\\\\\leftarrow 1-e^{-4s}=(1+e^{-2s})(1-e^{-2s})\\\\\leftarrow (1-e^{-2s})=(1+e^{-s})(1-e^{-s}) \\\\=\frac{1-e^{-s}}{s(1+e^{-2s})(1-e^{-s})(1+e^{-s})} \\\\=\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

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