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复杂分析:泰勒和洛朗级数

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例子问题

例子问题1:泰勒和劳伦特系列

求泰勒级数展开 $f(z) = z^2e^{3z}$

可能的答案:

$z^2e^{3z} = \sum_{n=2}^\infty \frac{3^{n-2}z^{n}}{(n-2)!}$

$z^2e^{3z} = \sum_{n=2}^\infty \frac{3^{n}z^{n}}{(n-2)!}$

$z^2e^{3z} = \sum_{n=2}^\infty \frac{3^{n-2}z^{n}}{n!}$

$z^2e^{3z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^{n-2}z^{n}}{(n-2)!}$

$z^2e^{3z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^{n}z^{n}}{n!}$

正确答案:

$z^2e^{3z} = \sum_{n=2}^\infty \frac{3^{n-2}z^{n}}{(n-2)!}$

解释：

众所周知(由定义可以证明)

$e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$

做出适当的替换

$e^{3z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^nz^n}{n!}$

$z^2e^{3z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^nz^{n+2}}{n!}$

移动求和的下标就得到

$z^2e^{3z} = \sum_{n=2}^\infty \frac{3^{n-2}z^{n}}{(n-2)!}$

报告错误

例子问题1:泰勒和劳伦特系列

的泰勒级数的前三项 $\frac{e^z}{1+z} \text{ where }|z|<1$

可能的答案:

$\frac{e^z}{1+z} = 1 + \frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{3}z^3 + ....$

$\frac{e^z}{1+z} = 1 + \frac{1}{3}z^2 - \frac{1}{5}z^3 + ....$

$\frac{e^z}{1+z} = 1 + z^2 - z^3 + ....$

$\frac{e^z}{1+z} = 1 + z - z^2 + ....$

$\frac{e^z}{1+z} = 1 + \frac{1}{2}z - \frac{1}{3}z^2 + ....$

正确答案:

$\frac{e^z}{1+z} = 1 + \frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{3}z^3 + ....$

解释：

分子和分母的泰勒级数展开得到

$e^z = 1+z+\frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + .....$ $\frac{1}{1+z} = \frac{1}{1-(-z)} = 1 - z + z^2 - z^3 + ....$

一项一项的乘法得到

$(1+z+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{6}z^3+...) + (-z-z^2-\frac{1}{2}z^3-\frac{1}{6}z^4 + ...) + (z^2+z^3+\frac{1}{2}z^4+\frac{1}{6}z^5 + ...) + (-z^3-z^4 -\frac{1}{2}z^5-\frac{1}{6}z^6 + ...)$

相似词的组合

$\frac{e^z}{1+z} = 1 + \frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{3}z^3 + ....$

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