一名研究人员正在研究激素处理对玉米芽孢和胚根生长的影响。研究人员想要测试四种激素的效果:生长素、赤霉素、脱落酸和细胞分裂素。研究人员只能给每一个芽提供三种激素的组合,并按照它们被给予的顺序进行研究。这项研究有多少结果?
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解释:
为了解决这个问题,我们需要讨论概率、排列和组合。概率通常被定义为一个事件发生的机会或可能性。它通过识别两个组成部分来计算:事件和样本空间。事件被定义为我们希望观察到的有利结果或成功。另一方面,样本空间被定义为事件的所有可能结果的集合。数学上,我们通过将事件除以样本空间来计算概率:
让我们举一个简单的例子:滚动骰子。我们想知道摇到1的概率。我们知道样本空间是6因为骰子有6条边或结果。而且,我们知道只有一条边的值为1;因此,
现在,让我们把它转换成百分比:
用分数形式表示的概率的值在0到1之间。1表示事件一定会发生,0表示事件不会发生。同样,以百分比表示的概率的值在0到100%之间,接近于0的概率不太可能发生,接近于100%的概率更可能发生。
但是如果我们不知道我们有多少个结果会发生什么呢(例如在问题中提出的问题中)?结果并不总是容易确定或计算;然而,与排列和组合相关的数学运算可以使这些过程更容易。当事件的顺序很重要时,排列提供了结果的数量。用以下公式计算排列:
在这个公式中,变量,,表示模型和变量中事物或项的数量,,指物品可以排序的方式的数量(即模型中存在的箱子或槽的数量)。让我们看一个例子,以便更好地说明排列。假设有四种不同颜色的弹珠——红、蓝、白、黑——一位研究人员想知道,在弹珠的顺序有影响的情况下,如果一个人选择其中两颗弹珠,可能会有多少种结果。我们知道这是一个排列因为弹珠的顺序很重要。我们需要为物品或弹珠的每个变量分配数字我们有两个槽或箱子,它们将被排序;因此,我们知道:
现在,我们需要计算这个模型中存在的排列的数量;但是,我们需要了解如何执行包含阶乘的计算。阶乘用感叹号(!)表示。例如,让我们观察下面的操作:
这表示对于每个非负整数,,我们可以通过计算小于等于的所有整数的乘积来定义它的阶乘.
让我们使用这些信息来解决大理石的例子。
解决。
简化。
我们知道有12种可能的排列。我们可以把它们写在下表中:
接下来,我们需要讨论组合。当顺序无关紧要时,组合帮助我们计算给定模型中结果的数量。换句话说,拉一个红球和一个蓝球和拉一个蓝球和红球是一样的。组合的计算公式如下:
组合公式与排列公式相似。在组合公式中,,表示模型和变量中事物或项的数量,,指的是可以订购物品的方式的数量。让我们使用前面的例子来计算模型中的组合数量。假设有四种不同颜色的弹珠——红、蓝、白、黑——一位研究人员想知道,在弹珠的顺序无关紧要的情况下,如果一个人选择其中两颗弹珠,可能会有多少种结果。在这个模型中,我们可以假设弹珠被拉出的顺序对研究人员来说并不重要。在我们不关心组合顺序的情况下,我们可以使用组合公式。
我们从展开阶乘开始。
简化。
注意,这个和排列公式的唯一区别是我们在分母上有一个额外的项,我们有箱子数量或槽数的阶乘乘以物品数量的阶乘减去槽数。我们知道这个模型有六种不同的结果组合。我们可以把它们写在下表中:
现在,让我们用这些信息来解决给定的问题。我们知道研究人员正在测试四种物质——在这种情况下是激素:生长素、赤霉素、脱落酸和细胞分裂素。接下来,我们知道我们可以在每个治疗或三个插槽中有三种激素。最后,荷尔蒙的顺序对研究人员很重要。根据这些信息,我们必须使用排列公式。
代入已知值。
展开阶乘解。
有24种可能的结果。