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共同核心:高中-数字和数量:复数系统

《共同核心:高中-数量和数量》的学习概念、示例问题和解释

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例子问题

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例子问题1:复数形式:Ccss.Math.Content.Hsn Cn.A.1

简化下面的内容。

$\sqrt{-9}\times\sqrt{18}$

可能的答案:

$-9\sqrt{2}$

$9\sqrt{2}$

$-9i\sqrt{2}$

$9i\sqrt{2}$

$9i^2\sqrt{2}$

正确答案:

$9i\sqrt{2}$

解释：

这道题测试一个人对复数进行算术运算的能力。这类问题引入并建立在复数概念的基础上。回想一下，复数根据定义包含一个负的平方。用数学术语表示如下。

$\\i=\sqrt{-1} \\i^2=-1$

对复数进行算术运算依赖于对各种代数运算和性质(分配律、结合律和交换律)以及虚数、复数的理解．

为了共同核心标准的目的，“知道有一个复数这样 i^2=-1 ，每一个复数都有一个形式 a+bi 与而且是实数”，属于“用复数进行算术运算”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.CN.A)的A类。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:在两个项之间进行乘法运算。

$\sqrt{-9}\times\sqrt{18}$

回想一下，两个根号和项之间的乘法(平方根符号下的项)，可以利用乘法的交流性质合并为一项。

$\\ \sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b} \\ \sqrt{-9}\times\sqrt{18}=\sqrt{-9\times 18}$

步骤2:将两个项分解到表达式中。

$\\=\sqrt{-9\times 18} \\=\sqrt{-1\times 9\times 9\times 2}$

第三步:把激进中常见的术语抽出来。

请记住，当一个数字出现在平方根符号下时，其中一个数字可以提到前面，另一个数字可以被抵消。

$\sqrt{a\times a}= a\sqrt{1}=a$

$\\=\sqrt{-1\times 9\times 9\times 2} \\=9\sqrt{-1\times 2}$

第四步:使用标识 $\sqrt{-1}=i$ ．

$\\=9\sqrt{-1\times 2} \\=9i\sqrt{2}$

例子问题1:复数系统

表达 $\sqrt{-9}$ 作为一个纯虚数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

纯虚数表示为,在那里是正实数和吗表示虚数单位。

例子问题2:复数系统

表达 $\sqrt{-45}$ 作为一个纯虚数。

可能的答案:

$3i\sqrt{5}$

$\sqrt{45}$

$3\sqrt{5}$

45i

正确答案:

$3i\sqrt{5}$

解释：

纯虚数表示为,在那里是正实数和吗表示虚数单位。

例子问题3:复数系统

简化:

$\sqrt{-225}$

可能的答案:

$\sqrt{225}$

15i

正确答案:

15i

解释：

$\sqrt{-225}=\sqrt{225}\cdot \sqrt{-1}$

$=15\cdot \sqrt{-1}$

=15i

问题4:复数系统

简化:

$\sqrt{-98}$

可能的答案:

$7i\sqrt{2}$

$7\sqrt{2}$

$-7\sqrt{2}$

正确答案:

$7i\sqrt{2}$

解释：

$\sqrt{-98}=\sqrt{98}\cdot \sqrt{-1}$

$=\sqrt{49}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}$

$=7\sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}$

$=7\sqrt{2}\cdot i$

$=7i\sqrt{2}$

问题4:复数系统

简化:

$\sqrt{-242}$

可能的答案:

$11i\sqrt{2}$

$11\sqrt{2}$

$-11\sqrt{2}$

正确答案:

$11i\sqrt{2}$

解释：

$\sqrt{-242}=\sqrt{242}\cdot \sqrt{-1}$

$=\sqrt{121}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}$

$=11\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}$

$=11i\sqrt{2}$

示例问题7:复数系统

简化

$i^{2}$

可能的答案:

$\sqrt{-1}$

正确答案:

解释：

的力量是:

$i=\sqrt{-1}$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-\sqrt{-1}$

$i^{4}=1$

这个模式持续到每一个连续的四次幂．因此:

$i^{5}=\sqrt{-1}$

$i^{6}=-1$

$i^{7}=-\sqrt{-1}$

$i^{8}=1$

例8:复数系统

简化:

$i^{3}$

可能的答案:

$-\sqrt{-1}$

$\sqrt{-1}$

正确答案:

$-\sqrt{-1}$

解释：

的力量是:

$i=\sqrt{-1}$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-\sqrt{-1}$

$i^{4}=1$

这个模式持续到每一个连续的四次幂．因此:

$i^{5}=\sqrt{-1}$

$i^{6}=-1$

$i^{7}=-\sqrt{-1}$

$i^{8}=1$

示例问题7:复数形式:Ccss.Math.Content.Hsn Cn.A.1

简化:

$i^{7}$

可能的答案:

$-\sqrt{-1}$

正确答案:

$-\sqrt{-1}$

解释：

的力量是:

$i=\sqrt{-1}$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-\sqrt{-1}$

$i^{4}=1$

这个模式持续到每一个连续的四次幂．因此:

$i^{5}=\sqrt{-1}$

$i^{6}=-1$

$i^{7}=-\sqrt{-1}$

$i^{8}=1$

例子问题2:复数系统

简化:

$i^{50}$

可能的答案:

$\sqrt{-1}$

50i

正确答案:

解释：

的力量是:

$i=\sqrt{-1}$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-\sqrt{-1}$

$i^{4}=1$

这个模式持续到每一个连续的四次幂．因此:

$i^{5}=\sqrt{-1}$

$i^{6}=-1$

$i^{7}=-\sqrt{-1}$

$i^{8}=1$

为了简化以更大的力量，简单地把它打破 $i^{4}$ 这些项化简为1。

$i^{50}=\left( i^{4}\right)^{12}\cdot i^{2}$

$=1\cdot i^{2}$

$=i^{2}$

=-1

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