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例子问题

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问题1:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (9,3) 和 (-5,3) 长轴距离为．

可能的答案:

$\frac{1}{25} \left(x - 2\right)^{2} - \frac{1}{24} \left(y - 3\right)^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{10} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

$\frac{1}{10} \left(x - 9\right)^{2} + \frac{1}{10} \left(y - 3\right)^{2} = 1$

$10 x^{2} + 10 y^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{25} \left(x - 2\right)^{2} - \frac{1}{24} \left(y - 3\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x - 9\right)^{2} = 1$

$\left ( k, h\right )$ 是焦点中心的坐标。

{a} 从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径．

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 10

现在解出

a = 5.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = 2 \\y = 3.0$

所以焦点的中心在 $\left ( 2, 3\right )$ ．

现在我们需要算出从中心到焦点的距离．

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

c = -7

最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入5.0和与7

$b^{2} = -24.0$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{25} \left(x - 2\right)^{2} - \frac{1}{24} \left(y - 3\right)^{2} = 1$

问题2:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (7, 1) 和 (-7, 1) 长轴距离为．

可能的答案:

$x^{2} + y^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{1}{32} \left(y - 1\right)^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{18} = 1$

$18 x^{2} + 18 y^{2} = 1$

$\frac{1}{18} \left(x - 7\right)^{2} + \frac{1}{18} \left(y - 1\right)^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{1}{32} \left(y - 1\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x - 7\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径．

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 18

现在解出．

a = 9.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = 0 \\y = 1.0$

所以焦点的中心在 $\left ( 0, \quad 1\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离．

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

c = -7

最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入9.0和与7

$b^{2} = 32.0$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{1}{32} \left(y - 1\right)^{2} = 1$

问题3:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (3, 4) 和 (-5, 4) 长轴距离为．

可能的答案:

$\frac{1}{81} \left(x + 1\right)^{2} + \frac{1}{65} \left(y - 4\right)^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{18} = 1$

$\frac{1}{18} \left(x - 3\right)^{2} + \frac{1}{18} \left(y - 4\right)^{2} = 1$

$18 x^{2} + 18 y^{2} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{81} \left(x + 1\right)^{2} + \frac{1}{65} \left(y - 4\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x - 3\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径是多少。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 18

现在解出

a = 9.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = -1 \\y = 4.0$

所以焦点的中心在 $\left ( -1, \quad 4\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离是多少。

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

c = -4

最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入9.0和有4

$b^{2} = 65.0$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{81} \left(x + 1\right)^{2} + \frac{1}{65} \left(y - 4\right)^{2} = 1$

问题4:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (-3, 5) 和 (-1, 5) 长轴距离为．

可能的答案:

$\frac{1}{16} \left(x + 3\right)^{2} + \frac{1}{16} \left(y - 5\right)^{2} = 1$

$\frac{1}{64} \left(x + 2\right)^{2} + \frac{1}{63} \left(y - 5\right)^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

$16 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{64} \left(x + 2\right)^{2} + \frac{1}{63} \left(y - 5\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x + 3\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径是多少。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 16

现在解出

a = 8.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = -2 \\ y = 5.0$

所以焦点的中心在 $\left ( -2, \quad 5\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离．

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点。

c = 1

最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入在8.0和1

$b^{2} = 63.0$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{64} \left(x + 2\right)^{2} + \frac{1}{63} \left(y - 5\right)^{2} = 1$

问题31:用方程表示几何性质

求有焦点的椭圆的方程 (4, -10) 和 (-2, -10) 长轴距离为．

可能的答案:

$\left(x - 1\right)^{2} - \frac{1}{8} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

$\frac{1}{2} \left(x - 4\right)^{2} + \frac{1}{2} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

$2 x^{2} + 2 y^{2} = 1$

正确答案:

$\left(x - 1\right)^{2} - \frac{1}{8} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x - 4\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径是多少。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 2

现在解出

a = 1.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = 1 \\y = -10.0$

所以焦点的中心在 $\left ( 1, \quad -10\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离．

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

c = -3

最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入有1.0和与3。

$b^{2} = -8.0$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\left(x - 1\right)^{2} - \frac{1}{8} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

问题6:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (5, 6) 和 (10, 6) 长轴距离为．

可能的答案:

$18 x^{2} + 18 y^{2} = 1$

$\frac{1}{18} \left(x - 5\right)^{2} + \frac{1}{18} \left(y - 6\right)^{2} = 1$

$\frac{1}{81} \left(x - \frac{15}{2}\right)^{2} + \frac{4}{299} \left(y - 6\right)^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{18} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{81} \left(x - \frac{15}{2}\right)^{2} + \frac{4}{299} \left(y - 6\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x - 5\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径是多少。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 18

现在解出

a = 9.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = \frac{15}{2} \\\\ y = 6.0$

所以焦点的中心在 $\left ( \frac{15}{2}, \quad 6\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离是多少。

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

$c = \frac{5}{2}$

最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入9.0和与 $\frac{5}{2}$

$b^{2} = 74.75$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{81} \left(x - \frac{15}{2}\right)^{2} + \frac{4}{299} \left(y - 6\right)^{2} = 1$

问题7:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (-10, -10) 和 (4, -10) 长轴距离为．

可能的答案:

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

$12 x^{2} + 12 y^{2} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

$\frac{1}{36} \left(x + 3\right)^{2} - \frac{1}{13} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

$\frac{1}{12} \left(x + 10\right)^{2} + \frac{1}{12} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{36} \left(x + 3\right)^{2} - \frac{1}{13} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x + 10\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径是多少。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 12

现在解出

a = 6.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = -3 \\y = -10.0$

所以焦点的中心在 $\left ( -3, \quad -10\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离是多少。

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

c = 7
最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入6.0及与7

$b^{2} = -13.0$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{36} \left(x + 3\right)^{2} - \frac{1}{13} \left(y + 10\right)^{2} = 1$

问题8:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (5, -1) 和 (-6, -1) 长轴距离为．

可能的答案:

$14 x^{2} + 14 y^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{14} + \frac{y^{2}}{14} = 1$

$\frac{1}{49} \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{4}{75} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

$\frac{1}{14} \left(x - 5\right)^{2} + \frac{1}{14} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{49} \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{4}{75} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x - 5\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径()。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 14

现在解出

a = 7.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = - \frac{1}{2} \\\\y = -1.0$

所以焦点的中心在 $\left ( - \frac{1}{2}, \quad -1\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离．

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

$c = - \frac{11}{2}$

最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入有7.0和与 $- \frac{11}{2}$

$b^{2} = 18.75$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{49} \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{4}{75} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

问题9:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (-8, -5 ) 和 (3, -5) 长轴距离为．

可能的答案:

$\frac{1}{18} \left(x + 8\right)^{2} + \frac{1}{18} \left(y + 5\right)^{2} = 1$

$\frac{1}{81} \left(x + \frac{5}{2}\right)^{2} + \frac{4}{203} \left(y + 5\right)^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{18} = 1$

$18 x^{2} + 18 y^{2} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{81} \left(x + \frac{5}{2}\right)^{2} + \frac{4}{203} \left(y + 5\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x + 8\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径()。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 18

现在解出

a = 9.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = - \frac{5}{2} \\\\y = -5.0$

所以焦点的中心在 $\left ( - \frac{5}{2}, \quad -5\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离是()。

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

$c = \frac{11}{2}$
最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入9.0和与 $\frac{11}{2}$

$b^{2} = 50.75$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{81} \left(x + \frac{5}{2}\right)^{2} + \frac{4}{203} \left(y + 5\right)^{2} = 1$

问题10:椭圆和双曲线方程的推导。数学。内容。hsg Gpe.A.3

求有焦点的椭圆的方程 (7, -1) 和 (0, -1) 长轴距离为．

可能的答案:

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

$16 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$

$\frac{1}{64} \left(x - \frac{7}{2}\right)^{2} + \frac{4}{207} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

$\frac{1}{16} \left(x - 7\right)^{2} + \frac{1}{16} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

正确答案:

$\frac{1}{64} \left(x - \frac{7}{2}\right)^{2} + \frac{4}{207} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

解释：

一般方程是

$\frac{1}{b^{2}} \left(- h + y\right)^{2} + \frac{1}{a^{2}} \left(x - 7\right)^{2} = 1$

$\left ( k, \quad h\right )$ 是焦点中心的坐标。

从中心到x轴焦点的距离是多少是焦点到y轴的距离。

第一步是求出焦点半径( $\uptext{a}$ )。

既然我们知道了长轴的距离，我们所需要做的就是建立一个简单的方程。

2 a = 16

现在解出

a = 8.0

下一步是找到焦点之间的中心。

要找到中心，我们只需求坐标之间的平均值。

$\\x = \frac{7}{2} \\\\y = -1.0$

所以焦点的中心在 $\left ( \frac{7}{2}, \quad -1\right )$

现在我们需要算出从中心到焦点的距离是( $\uptext{c}$ )。

我们通过从一个焦点取x坐标然后从中心x坐标中减去它来做到这一点

$c = - \frac{7}{2}$
最后一步是求．

我们可以用下面的方程求出它。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

我们只需代入在8.0和与 $- \frac{7}{2}$

$b^{2} = 51.75$

现在我们可以把这些值代入一般方程得到。

$\frac{1}{64} \left(x - \frac{7}{2}\right)^{2} + \frac{4}{207} \left(y + 1\right)^{2} = 1$

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