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大学代数:杂项函数

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例子问题

问题1:各种各样的功能

定义函数 $f(x) = \sqrt{4x- 9}$ ．

哪个陈述正确地给出了 $f^{-1}(x)$ ？

可能的答案:

$f^{-1}(x)= \frac{9}{4} x ^{2}+4$

$f^{-1}(x)= \frac{1}{4} x ^{2}+9$

$f^{-1}(x)= \frac{1}{4} x ^{2}+ \frac{9}{4}$

$f^{-1}(x)= \frac{9}{4} x ^{2}+ \frac{1}{4}$

$f^{-1}(x)= \frac{9}{4} x ^{2}+9$

正确答案:

$f^{-1}(x)= \frac{1}{4} x ^{2}+ \frac{9}{4}$

解释：

逆函数 $f^{-1}(x)$ 函数的 f(x) 可以找到如下:

取代 f(x) 与：

$f(x) = \sqrt{4x- 9}$

$y= \sqrt{4x- 9}$

切换的位置和：

$x= \sqrt{4y- 9}$

或

$\sqrt{4y- 9} = x$

解出．可以这样做:

两边平方:

$\left (\sqrt{4y- 9} \right ) ^{2}= x ^{2}$

$4y- 9 = x ^{2}$

两边同时加9:

$4y- 9+9 = x ^{2}+9$

$4y = x ^{2}+9$

两边同时乘以 $\frac{1}{4}$ ，分布在右边;

$\frac{1}{4} \cdot 4y = \frac{1}{4} \cdot \left (x ^{2}+9 \right )$

$y = \frac{1}{4} \cdot x ^{2}+ \frac{1}{4} \cdot 9$

$y = \frac{1}{4} x ^{2}+ \frac{9}{4}$

取代与 $f^{-1}(x)$ ：

$f^{-1}(x)= \frac{1}{4} x ^{2}+ \frac{9}{4}$

报告错误

问题1:各种各样的功能

参考上面的图表，它显示了一个函数的曲线图 f(x) ．

真或假: $f\left ( \frac{1}{2} \right ) = 2$ ．

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

假

解释：

这种说法是错误的。在图上找点 f(x) 与协调 $\frac{1}{2}$ 向右走 $\frac{1}{2}$ 单元，然后向上移动，注意到-value，如下所示:

$f \left ( \frac{1}{2} \right ) = \frac{3}{2}$ ，所以这个陈述是假的。

报告错误

问题1:各种各样的功能

上图显示了函数的曲线图 f(x) 在坐标轴上。判断题:判断题图的-截距为 (0, 3)

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

假

解释：

的函数图像的截距是它与曲线相交的点-轴(纵轴)。这一点在下面的图表中做了标记:

该点在原点上方约1又3 / 4个单位，使得拦截 $\left ( 0, 1\frac{3}{4}\right )$ ．

报告错误

问题2:各种各样的功能

一个函数 f(x) 在域中定义的 $\left \{ 1, 2, 3, 4, 5\right \}$ 根据上表。

定义函数 g(x) = 3x- 5 ．以下哪个值是不在函数的范围内 $(g \circ f )(x)$ ？

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是两个函数的复合。根据定义, $(g \circ f )(x) = g \left [ f(x)\right ]$ ．求值域 $(g \circ f )(x)$ ，我们需要在定义域内找到这个函数的值 f(x) ．自 $(g \circ f )(x) = g \left [ f(x)\right ]$ ，这等价于求 g(x) 的范围内的每个值 f(x) ，详情如下:

g(x) = 3x- 5

范围值:3

g(3) = 3 (3)- 5 = 9 - 5 = 4

范围值:5

g(5) = 3 (5)- 5 = 15 - 5 = 10

取值范围:8

g(8) = 3 (8)- 5 = 24 - 5 = 19

范围值:13

g(13) = 3 (13)- 5 = 39 - 5 = 34

取值范围:21

g(21) = 3 (21)- 5 = 63 - 5 = 58

的范围 g(x) 的值域值的集合 f(x) 的范围 $\left (g \circ f \right ) (x)$ -是集合 $\left \{4 , 10, 19, 34, 58\right \}$ ．在这五个选项中，只有45个没有出现在这个集合中;这是正确的选择。

报告错误

问题3:各种各样的功能

评估: $\sum_{k =2}^{5} (-1)^{k}(3k+1)$

可能的答案:

正确答案:

解释：

对表达式求值 $(-1)^{k}(3k+1)$ 为 k = 2, 3, 4, 5 ，然后将这四个数字相加:

$a_{k} = (-1)^{k}(3k+1)$

$a_{2} = (-1)^{2}(3 \cdot 2 +1) = 1 (6+ 1) = 7$

$a_{3} = (-1)^{3}(3 \cdot 3 +1) = -1 (9+ 1) = -10$

$a_{4} = (-1)^{4}(3 \cdot 4 +1) = 1 (12+ 1) = 13$

$a_{5} = (-1)^{5}(3 \cdot 5 +1) =- 1 (15+ 1) = -16$

$\sum_{k =2}^{5} (-1)^{k}(3k+1) = 7 +( -10) + 13 + (-16 ) = -6$

报告错误

问题1:各种各样的功能

评估: $\sum_{k =3}^{7} (-2)^{k}$

可能的答案:

248

正确答案:

解释：

对表达式求值 $\sum_{k =3}^{7} (-2)^{k}$ 为 k = 3, 4, 5, 6, 7 ，然后将这五个数字相加:

$a_{n} = (-2)^{k}$

$a_{3} = (-2)^{3} = -8$

$a_{4} = (-2)^{4 } =16$

$a_{5} = (-2)^{5 } =-32$

$a_{6} = (-2)^{6 } =64$

$a_{7} = (-2)^{7 } =-128$

$\sum_{k =3}^{7} (-2)^{k} = -8 + 16 + (-32)+ 64 +( -128 ) = -88$

报告错误

问题5:各种各样的功能

$\left \lfloor N \right \rfloor$ 指地板上的，小于等于的最大整数．

$\left \lceil N \right \rceil$ 指天花板的大于或等于的最小整数．

定义 $f(x) = \left \lfloor \frac{1}{2}x- \frac{2}{3} \right \rfloor$ 和 $g(x) = \left \lceil \frac{2}{3}x- \frac{1}{2} \right \rceil$

下面哪个等于 $(f \circ g ) \left ( \frac{11}{4} \right )$ ？

可能的答案:

正确答案:

解释：

$(f \circ g ) \left ( \frac{11}{4} \right ) =f\left ( g \left ( \frac{11}{4} \right ) \right )$ 首先，求值 $g \left ( \frac{11}{4} \right )$ 替换:

$g(x) = \left \lceil \frac{2}{3}x- \frac{1}{2} \right \rceil$

$g \left ( \frac{11}{4} \right ) = \left \lceil \frac{2}{3} \left ( \frac{11}{4} \right ) - \frac{1}{2} \right \rceil$

$= \left \lceil \frac{11}{6} - \frac{1}{2} \right \rceil$

$= \left \lceil \frac{4}{3} \right \rceil$

= 2

$(f \circ g ) \left ( \frac{11}{4} \right ) =f\left ( g \left ( \frac{11}{4} \right ) \right ) = f(2)$ ，求值 f(2) 通过替换。

$f(x) = \left \lfloor \frac{1}{2}x- \frac{2}{3} \right \rfloor$

$f(2) = \left \lfloor \frac{1}{2} (2)- \frac{2}{3} \right \rfloor$

$= \left \lfloor1 - \frac{2}{3} \right \rfloor$

$= \left \lfloor \frac{1}{3} \right \rfloor$

= 0 ，

正确的回应。

报告错误

问题1:各种各样的功能

$\left \lfloor N \right \rfloor$ 指地板上的，小于等于的最大整数．

$\left \lceil N \right \rceil$ 指天花板的大于或等于的最小整数．

定义 $f(x) = \left \lceil 2.2x +6.3 \right \rceil$ 和 $g (x) = \left \lfloor -2.1 x + 9.3 \right \rfloor$ ．

评估 $(f \circ g )(3.4 )$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$(f \circ g )(3.4 ) = f(g(3.4))$ 首先，求值 g(3.4 ) 使用替换:

$g (x) = \left \lfloor -2.1 x + 9.3 \right \rfloor$

$g (3.4) = \left \lfloor -2.1 (3.4) + 9.3 \right \rfloor$

$= \left \lfloor -7.14+ 9.3 \right \rfloor$

$= \left \lfloor 2.16 \right \rfloor$

= 2

$(f \circ g )(3.4 ) = f(g(3.4)) = f(2)$ ，求值 f(2) 使用替换:

$f(x) = \left \lceil 2.2x +6.3 \right \rceil$

$= \left \lceil 2.2 (2) +6.3 \right \rceil$

$= \left \lceil 4.4 +6.3 \right \rceil$

$= \left \lceil 10.7 \right \rceil$

= 11 ，

正确的回应。

报告错误

问题7:各种各样的功能

考虑多项式

$2x^{5} + 3 x^{2}- 4x + k$ ，

在哪里是一个实常数。为 x- 2 要使这个多项式为零，必须是什么?

可能的答案:

k= 68

k= -44

其他选项都没有给出正确答案。

k = -68

k= 44

正确答案:

k = -68

解释：

根据因子定理， x- c 是多项式的零吗 P(x) 当且仅当 P(c) = 0 ．在这里, c = 2 ，对多项式求值，用,因为 x=2 用2代替：

$2 \cdot 2^{5} + 3 \cdot 2^{2}- 4 \cdot 2 + k$

$= 2 \cdot 32 + 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + k$

=64 + 12 - 8 + k

=68 + k

将其设为0:

68 + k = 0

k = -68

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