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大学代数:双曲线

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例子问题

例子问题1:都

利用下面的信息，确定双曲线的方程。

焦点: (-5,4) 而且 (7,4)

偏心: $\frac{3}{2}$

可能的答案:

$\small \small \small \frac{(x-1)^{2}}{20} - \frac{(y-4)^{2}}{16}=1$

$\small \small \small \frac{(x-4)^{2}}{16} - \frac{(y-1)^{2}}{20}=1$

$\small \small \small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{36}=1$

$\small \small \small \small \small \frac{(x-4)^{2}}{20} - \frac{(y-1)^{2}}{36}=1$

$\small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{20}=1$

正确答案:

$\small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{20}=1$

解释：

双曲线的基本信息:

水平横向双曲线方程:

$\small \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

foci =之间的距离

顶点之间的距离=

离心率= c/a

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

中心:(h, k)

首先确定c的值。因为我们知道两个焦点之间的距离是12，我们可以设它等于．

12=2c

$\small c= 6$

接下来，使用离心方程和问题中提供的离心值来确定a的值。

离心率= $\small \small c/a=3/2$

$\small \frac{c}{a}=\frac{3}{2}=\frac{6}{a}$

$\small 12=3a$

$\small a=4$

$\small \small a^{2}=16$

确定的价值 $\small b^{2}$

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\small \small 4^{2}+b^{2}=6^{2}$

$\small \small b^{2}=20$

确定中心点以确定h和k的值。由于焦点的y坐标为4，中心点将在同一条线上。因此, $\small k = 4$ ．

因为中心点到两个焦点的距离相等，我们知道焦点之间的距离是12，我们可以得出 $\small h=1$

中心观点: $\small \small (h, k)= (1,4)$

因此，双曲线方程为:

$\small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{20}=1$

报告错误

例子问题1:都

利用下面的信息，确定双曲线的方程。

焦点: (1, 8) 而且 (9, 8)

偏心:

可能的答案:

$\small \small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-8)^{2}}{12} - \frac{(y-5)^{2}}{16}=1$

$\small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{16}=1$

$\small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{12} - \frac{(y-8)^{2}}{4}=1$

$\small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-8)^{2}}{4} - \frac{(y-5)^{2}}{12}=1$

$\small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{12}=1$

正确答案:

$\small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{12}=1$

解释：

双曲线的基本信息:

水平横向双曲线方程:

$\small \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

foci =之间的距离

顶点之间的距离=

离心率= c/a

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

中心:(h, k)

首先确定c的值，因为我们知道两个焦点之间的距离是8，我们可以设它等于．

$\small 8=2c$

$\small \small c= 4$

接下来，使用离心方程和问题中提供的离心值来确定a的值。

离心率= $\small \small \small \small c/a=2$

$\small \small \frac{c}{a}=\frac{2}{1}=\frac{4}{a}$

$\small \small 4=2a$

$\small \small a=2$

$\small \small \small a^{2}=4$

确定的价值 $\small b^{2}$

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\small \small \small 2^{2}+b^{2}=4^{2}$

$\small \small \small b^{2}=12$

确定中心点以确定h和k的值。由于焦点的y坐标为8，中心点将在同一条线上。因此, $\small \small k = 8$ ．

因为中心点到两个焦点的距离相等，我们知道焦点之间的距离是8，我们可以得出 $\small \small h=5$

中心观点: $\small \small \small (h, k)= (5, 8 )$

因此，双曲线方程为:

$\small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{12}=1$

报告错误

例子问题1:都

用下式求双曲线的焦点:

$\frac{x^2}{27}-\frac{y^2}{9}=1$

可能的答案:

(0, 6)(0, -6)

(12, 0)(-12, 0)

(0, 9)(0, -9)

(6, 0)(-6, 0)

正确答案:

(6, 0)(-6, 0)

解释：

回想一下，双曲线的标准公式有两种形式:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 而且

$\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}-=1$ ，即两条双曲线的中心所在的位置 (h, k) ．

当术语是首先，这意味着焦点在水平的横轴上。

当术语是首先，这意味着焦点在垂直的横轴上。

为了找到焦点，我们使用以下方法:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

对于具有水平横向通道的双曲线，焦点将位于 (h+c, k) 而且 (h-c, k) ．

对于具有垂直横向通道的双曲线，焦点将位于 (h, k+c) 而且 (h, k-c) ．

对于题中给定的双曲线，横轴是水平的，其中心位于 (0, 0) ．

接下来,找到．

$c=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6$

病灶然后定位于 (6, 0) 而且 (-6, 0) ．

报告错误

例子问题121:大学代数

用以下公式求双曲线的焦点:

$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

可能的答案:

(10, 0)(-10, 0)

(0, 10)(0, -10)

(6, 0)(-6, 0)

(0, 8)(0, -8)

正确答案:

(10, 0)(-10, 0)

解释：

回想一下，双曲线的标准公式有两种形式:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 而且

$\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}-=1$ ，即两条双曲线的中心所在的位置 (h, k) ．

当术语是首先，这意味着焦点在水平的横轴上。

当术语是首先，这意味着焦点在垂直的横轴上。

为了找到焦点，我们使用以下方法:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

对于具有水平横向通道的双曲线，焦点将位于 (h+c, k) 而且 (h-c, k) ．

对于具有垂直横向通道的双曲线，焦点将位于 (h, k+c) 而且 (h, k-c) ．

对于题中给定的双曲线，横轴是水平的，其中心位于 (0, 0) ．

接下来,找到．

$c=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

病灶然后定位于 (10, 0) 而且 (-10, 0) ．

报告错误

例子问题3:都

用下式求双曲线的焦点:

$\frac{(x+2)^2}{16}-\frac{(y-2)^2}{9}=1$

可能的答案:

(3, 2)(-7, 2)

(-2, 2)(7, 2)

(-2, -7)(-2, -3)

(-2, 7)(-2, -3)

正确答案:

(3, 2)(-7, 2)

解释：

回想一下，双曲线的标准公式有两种形式:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 而且

$\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}-=1$ ，即两条双曲线的中心所在的位置 (h, k) ．

当术语是首先，这意味着焦点在水平的横轴上。

当术语是首先，这意味着焦点在垂直的横轴上。

为了找到焦点，我们使用以下方法:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

对于具有水平横向通道的双曲线，焦点将位于 (h+c, k) 而且 (h-c, k) ．

对于具有垂直横向通道的双曲线，焦点将位于 (h, k+c) 而且 (h, k-c) ．

对于题中给定的双曲线，横轴是水平的，其中心位于 (-2,2) ．

接下来,找到．

$c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

病灶然后定位于 (3, 2) 而且 (-7, 2) ．

报告错误

问题41:图

用下式求双曲线的焦点:

50x^2-14y^2-400x+56y+44=0

可能的答案:

(4, 10)(4, -6)

(10, 2)(-2, 2)

(14, 2)(4, 2)

(12, 2)(-4, 2)

正确答案:

(12, 2)(-4, 2)

解释：

回想一下，双曲线的标准公式有两种形式:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 而且

$\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}-=1$ ，即两条双曲线的中心所在的位置 (h, k) ．

首先，把给定的方程化成双曲线方程的标准形式。

集团的术语和在一起。

50x^2-14y^2-400x+56y+44=0

50x^2-400x-14y^2+56y+44=0

接下来，提出因式从条款和从条款。

50(x^2-8x)-14(y^2-4y)+44=0

从这里开始，完成方块。记住在等式两边加同样的量!

50(x^2-8x+16)-14(y^2-4y+4)+44=744

减去双方都有。

50(x^2-8x+16)-14(y^2-4y+4)=700

两边除以 700 ．

$\frac{x^2-8x+16}{14}-\frac{y^2-4y+4}{50}=1$

将两项因式分解得到双曲线方程的标准形式。

$\frac{(x-4)^2}{14}-\frac{(y-2)^2}{50}=1$

当术语是首先，这意味着焦点在水平的横轴上。

当术语是首先，这意味着焦点在垂直的横轴上。

为了找到焦点，我们使用以下方法:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

对于具有水平横向通道的双曲线，焦点将位于 (h+c, k) 而且 (h-c, k) ．

对于具有垂直横向通道的双曲线，焦点将位于 (h, k+c) 而且 (h, k-c) ．

对于题中给定的双曲线，横轴是水平的，其中心位于 (4,2) ．

接下来,找到．

$c=\sqrt{14+50}=\sqrt{64}=8$

病灶然后定位于 (12, 2) 而且 (-4, 2) ．

报告错误

例5:都

用下式求双曲线的焦点:

12x^2-4y^2-216x-8y+920=0

可能的答案:

(9, 4)(9, -6)

(13, -1)(5, -1)

(9, -1)(9, -7)

(13, -1)(7, -1)

正确答案:

(13, -1)(5, -1)

解释：

回想一下，双曲线的标准公式有两种形式:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 而且

$\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}-=1$ ，即两条双曲线的中心所在的位置 (h, k) ．

首先，把给定的方程化成双曲线方程的标准形式。

集团的术语和在一起。

12x^2-4y^2-216x-8y+920=0

12x^2-216x-4y^2-8y+920=0

接下来，提出因式从条款和从条款。

12(x^2-18x)-4(y^2+2y)+920=0

从这里开始，完成方块。记住在等式两边加同样的量!

12(x^2-18x+81)-4(y^2+2y+1)+920=968

减去 920 双方都有。

12(x^2-18x+81)-4(y^2+2y+1)=48

两边除以．

$\frac{x^2-18x+81}{4}-\frac{y^2+2y+1}{12}=1$

将两项因式分解得到双曲线方程的标准形式。

$\frac{(x-9)^2}{4}-\frac{(y+1)^2}{12}=1$

当术语是首先，这意味着焦点在水平的横轴上。

当术语是首先，这意味着焦点在垂直的横轴上。

为了找到焦点，我们使用以下方法:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

对于具有水平横向通道的双曲线，焦点将位于 (h+c, k) 而且 (h-c, k) ．

对于具有垂直横向通道的双曲线，焦点将位于 (h, k+c) 而且 (h, k-c) ．

对于题中给定的双曲线，横轴是水平的，其中心位于 (9, -1) ．

接下来,找到．

$c=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$

病灶然后定位于 (13, -1) 而且 (5, -1) ．

报告错误

问题81:理解双曲线和椭圆的特征

求出以下双曲线的中心和顶点:

$\frac{(x+9)^2}{25}-\frac{(y-3)^2}{16}=1$

可能的答案:

Center:(-9,3)

Vertices:(-14,7),(-4,7)

Center:(9,-3)

Vertices:(-13,3),(-5,3)

Center:(-9,3)

Vertices:(-14,3),(-4,3)

Center:(-9,3)

Vertices:(-9,7),(-9,-1)

Center:(9,-3)

Vertices:(-9,8),(-9,-2)

正确答案:

Center:(-9,3)

Vertices:(-14,3),(-4,3)

解释：

为了求出问题中给出的双曲线的中心和顶点，我们必须考察双曲线的标准形式:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$

(h,k)点是双曲线的中心。我们可以看到，这个问题中的方程类似于上面标准形式的第二个选项，所以我们可以立即看到中心在:

Center:(-9,3)

在第一个选项中，x项在y项前面，双曲线向左和向右打开。在第二种情况下，y项在x项前面，双曲线上下开口。无论哪种情况，距离表示双曲线的顶点在中心的上方和下方，或在中心的左边和右边的距离。我们的方程是第一种形式，x项在前面，双曲线左右开口，这意味着顶点是一段距离在中心的左边和右边。我们现在可以计算通过在方程中确定它，然后向中心左右各移动3个单位，得到以下顶点:

$\frac{(x+9)^2}{25}-\frac{(y-3)^2}{16}=1$

$a^2=25\rightarrow a=5$

Vertices:(-14,3),(-4,3)

报告错误

示例问题7:都

用以下公式求出双曲线的渐近线方程:

36y^2-16x^2-144y-32x-448=0

可能的答案:

$y=\pm\frac{4}{3}x$

$y=\frac{1}{2}x+3$

$y=-\frac{1}{2}x+1$

$y=\frac{3}{2}x+3$

$y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$

$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$

$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$

正确答案:

$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$

$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$

解释：

对于双曲线，其焦点在-轴，就像方程中给出的那样，回想一下方程的标准形式:

$\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1$ ,在那里 (h,k) 是双曲线的中心。

首先把给定方程化成双曲线方程的标准形式。

集团的术语在一起和在一起。

36y^2-16x^2-144y-32x-448=0

36y^2-144y-16x^2-32x-448=0

提出来从条款和从条款。

36(y^2-4y)-16(x^2+2x)-448=0

完成方块。记住在等式两边都加上amount !

36(y^2-4y+4)-16(x^2+2x+1)-448=98

添加 448 对等式两边来说:

36(y^2-4y+4)-16(x^2+2x+1)=576

两边除以 576 ．

$\frac{y^2-4y+4}{16}-\frac{x^2+2x+1}{36}=1$

把两项因式分解得到双曲线方程的标准形式。

$\frac{(y-2)^2}{16}-\frac{(x+1)^2}{36}=1$

该双曲线的斜率由以下公式给出:

$m=\pm\frac{b}{a}$

对于问题中的双曲线， a=6 而且 b=4 ．

因此，其渐近线的斜率为 $\pm\frac{4}{6}=\pm\frac{2}{3}$ ．

现在，代入双曲线的中心， (-1, 2) 转化成直线方程的点斜式得到渐近线方程。

对于第一个方程，

$y-2=\frac{2}{3}(x+1)$

$y-2=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$

$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$

对于第二个方程，

$y-2=-\frac{2}{3}(x+1)$

$y-2=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$

$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$

报告错误

例子问题1:都

下列哪个选项正确地描述了这个方程的双曲线

$\frac{(x- 2)^{2}}{64} - \frac{(y-6)^{2}}{49} = 1$ ．

可能的答案:

圆心为的水平双曲线 (2, 6 ) ．

圆心为的垂直双曲线 (2, 6 ) ．

圆心为的垂直双曲线 (-2, -6 ) ．

圆心为的水平双曲线 (-2, -6 ) ．

正确答案:

圆心为的水平双曲线 (2, 6 ) ．

解释：

$\frac{(x- h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1$

这是有中心的水平双曲线的标准形式吗 (h, k) ．集 h = 2, k = 6 ；这条双曲线的中心在 (2, 6 ) ．

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