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大学代数:可约为二次型的方程

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例子问题

例子问题1:可约为二次型的方程

解决 x^4-7x^2+12=0

可能的答案:

$x=\pm\sqrt{3}$

$x=\pm2$

$x=\sqrt{3}$

x=2

没有解

$x=-\sqrt{3}$

x=-2

正确答案:

$x=\pm\sqrt{3}$

$x=\pm2$

解释：

为了简化这个问题，我们先做一个u替换。

让 u=x^2 ．

x^4-7x^2+12=0

u^2-7u+12=0

现在我们可以在左边因式分解。

(u-3)(u-4)=0

我们有两个解现在我们可以代入 u=x^2 得到所有的解。

$x^2=3\rightarrow x=\pm\sqrt{3}$

$x^2=4\rightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm2$

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例子问题2:可约为二次型的方程

求出多项式函数的所有实根

f(x)=x^5-2x^3+x

可能的答案:

$x = \left \{ -2,-1,0,1,2\right \}$

$x = \left \{ -1,1\right \}$

x=0 (没有非零解)

$x = \left \{ -1,0,1\right \}$

$x = \left \{ 0,1\right \}$

正确答案:

$x = \left \{ -1,0,1\right \}$

解释：

求多项式的根，

f(x)=x^5-2x^3+x

集 f(x) 等于

x^5 -2x^3-x = 0

提出来，

x(x^4-2x^2-1)=0

注意这个因子 x^4-2x^2-1 是一个二次方程，尽管乍一看并不是这样。一种思考方法如下:

让 u = x^2

然后我们有 u^2 = x^4 ,代入 x^4-2x^2-1 得到

u^2-2u+1 = 0

注意变量的变化来 u=x^2 得到了一个可以很容易分解的二次方程，因为它是一个简单二项式的平方:

(u-1)^2=0

的解决方案是,

u = 1

因为 u = x^2 我们回到变量，

x^2 = 1

因此，根的 x^4-2x^2+1 因素,

$x = \pm 1$

的另一个根 f(x) 是 x = 0 因为函数显然等于当 x=0 ．

因此解集是， $x = \left \{ -1,0,1\right \}$

下面是一幅 f(x)=x^5 - 4x^3 +x ．你可以看到函数的交点-轴上对应于解的点。

进一步讨论

变量换元法是我们用来把二次因子写成更熟悉的形式的一种工具，但是我们可以把原函数因式分解成如下所示,

x(x^4-2x^2+1)

=x(x^2-1)^2

=x(x^2-1)(x^2-1)

=x(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)

设它为零得到相同的解集， $x = \left \{ -1,0,1\right \}$

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例子问题1:可约为二次型的方程

给出方程的完整解集:

$x^{4} + 8x^{2} + 12 = 0$

可能的答案:

$\left \{ - i \sqrt{6}, - i \sqrt{2}, i \sqrt{2} , i \sqrt{6} \right \}$

$\left \{ - 2, - \sqrt{3}, \sqrt{3} ,2 \right \}$

$\left \{ -2 i , - i \sqrt{3}, i \sqrt{3} ,2 i \right \}$

$\left \{ - \sqrt{6}, - \sqrt{2}, \sqrt{2} , \sqrt{6} \right \}$

$\left \{ -2 i \sqrt{3}, - i , i ,2 i \sqrt{3}\right \}$

正确答案:

$\left \{ - i \sqrt{6}, - i \sqrt{2}, i \sqrt{2} , i \sqrt{6} \right \}$

解释：

$x^{4} + 8x^{2} + 12 = 0$

可以通过设置 $u = x^{2}$ ,因此, $u^{2} = x^{4}$ ；得到的方程如下:

$u^{2} + 8u+ 12 = 0$

通过反foil法，我们可以在左边因式分解三叉项。我们要找两个和为8，积为12的整数;它们是2和6，所以方程变成

(u+ 6)(u+ 2) = 0

让两个二项式都等于0，就得到了

u = -2 或 u = -6 ．

替换 $x^{2}$ 为,我们得到

$x^{2} = -2$ ，

在这种情况下

$x = \pm i \sqrt{2}$ ，

或 $x^{2} = -2$

在这种情况下

$x = \pm i \sqrt{6}$ ．

解集是 $\left \{ - i \sqrt{6}, - i \sqrt{2}, i \sqrt{2} , i \sqrt{6} \right \}$ ．

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例子问题1:可约为二次型的方程

给出方程的实解的完整集合:

$e^{2x}- 8e^{x}+ 12 = 0$

可能的答案:

$\left \{ \ln 3 , \ln 4 \right \}$

$\left \{ 0, \ln 12 \right \}$

$\left \{ \ln 2, \ln 6 \right \}$

这个方程没有解。

正确答案:

$\left \{ \ln 2, \ln 6 \right \}$

解释：

$e^{2x}- 8e^{x}+ 12 = 0$

可以通过设置 $u = e^{x}$ ,因此, $u^{2} =( e^{x})^{2} = e^{2x}$ ；得到的方程如下:

$u^{2} - 8u+ 12 = 0$

通过反foil法，我们可以在左边因式分解三叉项。我们要找两个和为8，积为12的整数;他们是而且，所以方程变成

(u-6)(u- 2) = 0

让两个二项式都等于0，就得到了

u =2 或 u = 6 ．

替换 $e^{x}$ 为,我们得到

$e^{x} = 2$

在这种情况下

$x = \ln 2$ ，

而且

$e^{x} = 6$ ，

在这种情况下

$x = \ln 6$

因此实解的集合是 $\left \{ \ln 2, \ln 6 \right \}$ ．

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