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微积分AB:使用黎曼和

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例子问题

问题1:集成

让 $f(x) = \frac{1}{7}x^{7} - \frac{6}{5} x^{5} + \frac{5}{3}x^{3} - 30x$ ．

的图的相对最大值网址:

可能的答案:

$x = \sqrt {6}$

$x =- \sqrt {6}$

的图像没有相对最大值。

$x= \sqrt[4]{5}$

$x=- \sqrt[4]{5}$

正确答案:

$x =- \sqrt {6}$

解释：

在相对最小的情况下 (c,f(c)) 图的 f(x) ，它会容纳那个 f'(c) = 0 而且 f''(c) < 0 ．

首先,找到 f'(x) ．利用求和法则，

$f'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{7}x^{7} - \frac{6}{5} x^{5} + \frac{5}{3}x^{3} - 30x \right )$

$f'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{7}x^{7} \right )- \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{6}{5} x^{5} \right )+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{5}{3}x^{3} \right )- \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 30x \right )$

使用常数倍数和幂规则对单个术语进行微分:

$f'(x) = \frac{1}{7} \cdot 7 x^{6} - \frac{6}{5} \cdot 5 x^{4} + \frac{5}{3} \cdot 3 x^{2} - 30x$

$f'(x) = x^{6} - 6 x^{4} +5 x^{2} - 30$

设此值为0:

$x^{6} - 6 x^{4} +5 x^{2} - 30 = 0$

$(x^{6} - 6 x^{4} )+(5 x^{2} - 30) = 0$

$x^{4} (x^{2} - 6 )+ 5 (x^{2} - 6 ) = 0$

$(x^{4}+ 5 ) (x^{2} - 6 ) = 0$

$x^{4}+5 = 0$ ，在这种情况下， $x^{4} = -5$ ；这个方程没有实解。

$x^{2}- 6=0$ 有两个实解， $-\sqrt {6}$ 而且 $\sqrt {6}$ ．

现在求二阶导，还是用求和法则

$f'(x) = x^{6} - 6 x^{4} +5 x^{2} - 30$

$f''(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{6} - 6 x^{4} +5 x^{2} - 30)$

$f''(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{6} )- \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ( 6 x^{4} )+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}( 5 x^{2} )- \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}( 30)$

使用常数倍数和幂规则对单个术语进行微分:

$f''(x) =6 x^{5} - 6 ( 4 x^{3} )+ 5( 2x )- 0$

$f''(x) =6 x^{5} -2 4 x^{3} +10x$

替代 $\sqrt {6}$ 为：

$f''( \sqrt {6}) =6 ( \sqrt {6} )^{5} -2 4 ( \sqrt {6})^{3} +10( \sqrt {6})$

$f''(-\sqrt {6}) = 216\sqrt {6}-144 \sqrt {6} +10\sqrt {6}$

$f''(-\sqrt {6}) =82\sqrt {6} >0$

因此,有一个相对最低在 $x = \sqrt {6}$ ．

现在。替代 $-\sqrt {6}$ 为：

$f''(-\sqrt {6}) =6 (-\sqrt {6} )^{5} -2 4 (-\sqrt {6})^{3} +10(-\sqrt {6})$

$f''(-\sqrt {6}) =- 216\sqrt {6}+144 \sqrt {6} -10\sqrt {6}$

$f''(-\sqrt {6}) =-82\sqrt {6} < 0$

因此,有一个相对最大在 $x =- \sqrt {6}$ ．

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问题2:集成

估计的积分 f(x)=3x^2+1 从0到3使用左黎曼和和和6个矩形。使用 $\Delta x=0.5$

可能的答案:

74.25

46.25

37.125

23.125

23.625

正确答案:

23.625

解释：

因为我们的 $\Delta x$ 是常数，左黎曼和是多少

$R_{L}=\Delta x(f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)+f(2.5))$

$R_{L}=0.5\cdot (1+1.75+4+7.75+13+19.75)=23.625$

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示例问题3:集成

使用带有4个子区间的左黎曼和来近似x轴与 f(x)=x^4 +1 ， x=-2 , x=2 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

要使用左黎曼和，我们需要使用以下公式:

$Area \approx \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$ ．

在哪里是子区间的个数(在我们的问题中是4)

表示我们正在处理的子区间的“计数器”(4个子区间意味着什么将是1 2 3，然后4)

f(x_i) 是你代入第i个x值时的函数值，(在本例中第i个是1-st, 2-nd, 3-rd和4-th)

， $\Delta x$ 是每个子区间的宽度，我们很快就会确定。

而且 $\sum_{i=1}^n$ 意味着将所有版本加在一起(对我们来说，这意味着加4个版本)。

这个奇特的方程近似于使用盒子。我们可以把这个奇特的方程写成 $f(x_i)\Delta x$ 4次;各1次 i=1 ， i=2 ， i=3 , i=4 ．这给了我们

$f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + f(x_3)\Delta x + f(x_4)\Delta x$

想到的 $\Delta x$ 作为每个盒子的底座，和 f(x_1) 作为第一个盒子的高度。

这基本上是 Area = (base)(height) ， 4次，然后相加。

现在我们需要确定是什么 $\Delta x, x_1, x_2, x_3,$ 而且 x_4 是这样的。

找到 $\Delta x$ 我们求出x值从开始到结束的总长度，在问题中给出 x=-2 而且 x=2 ．然后我们把这个总长度分成4个部分，因为我们被告知使用4个子区间。

简而言之, $\Delta x = \frac{b - a}{n}= \frac{(2)- (-2)}{4} = 1$

现在我们需要找出这4个子区间的每一个左端点的x值。左端点，因为我们在做左黎曼和。

最左边的x值恰好是问题中给出的所有端点中较小的那个。换句话说，因为我们只关心面积 x=-2 来 x=2 我们就用小一点的吧，，这是我们第一次 x_i ．

现在我们知道 x_1 = -2 ．

为了找到下一个端点， x_2 将第一个x乘以子区间的长度，也就是 $\Delta x = 1$ ．换句话说

$x_2 = x_1 + \Delta x$

x_2 = -2 + 1

x_2 = -1

添加 $\Delta x$ 再一次得到 x_3

$x_3 = x_2 + \Delta x$

x_3 = -1 + 1

x_3 = 0

重复来找到 x_4

$x_4 = x_3 + \Delta x$

x_4 = 0 + 1

x_4 = 1

现在我们有了所有的部件，我们可以把它们代入。

$f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + f(x_3)\Delta x + f(x_4)\Delta x$

$f(-2)\cdot1 + f(-1) \cdot (1)+ f(0)\cdot (1) + f(1)\cdot (1)$

将每个值代入 f(x)=x^4 +1 然后简化。

[(-2)^4+1](1)+[(-1)^4+1](1)+ [(0)^4+1](1)+[(1)^4+1](1)

[16 + 1]+ [1 + 1]+ [0+ 1]+ [1 + 1]

17 + 2 + 1 + 2

这是最终的结果，是函数下面积的近似值。

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问题4:集成

这个函数 $f\left ( x \right )$ 区间上是否有以下值 $x=\left [ -2,13 \right ]$ ：

$f\left ( -2 \right )=5$

$f\left ( 1 \right )=-19$

$f\left ( 4 \right )=5$

$f\left ( 7 \right )=-6$

$f\left ( 10 \right )=-18$

$f\left ( 13 \right )=0$

近似的积分 $f\left ( x \right )$ 在这个区间上使用右黎曼和。

可能的答案:

495

正确答案:

解释：

一个区间上的黎曼和积分近似 $\left [ a, b \right ]$ 与子区间的形式如下:

$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}(f(x_{1}))+f\left ( x_{2} \right )+\cdots +f(x_{n}))$

它本质上是矩形，每个矩形的底边都有长度: $\frac{b-a}{n}$ 和可变高度: $f(x_{i})$ 的函数值 $x_{i}$ ．

在我们的例子中，我们有一个区间上的函数值:

$f\left ( -2 \right )=5$

$f\left ( 1 \right )=-19$

$f\left ( 4 \right )=5$

$f\left ( 7 \right )=-6$

$f\left ( 10 \right )=-18$

$f\left ( 13 \right )=0$

虽然总间隔的长度是．

注意这些点是等距的。这个距离是子区间由于我们使用了每个区间的正确点，我们忽略了第一个函数值:

$\int_{-2}^{13}f\left ( x \right )\approx 3\left [ (-19)+(5)+(-6)+(-18)+(0)\right ]$

$\int_{-2}^{13}f\left ( x \right )\approx -114$

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示例问题5:集成

近似 $\int_{-8}^{1}f(x)$

使用右黎曼和，如果 f(x) 的值:

f(-8)=-13

f(-5)=-19

f(-2)=6

f(1)=-9

可能的答案:

正确答案:

解释：

一个区间上的黎曼和积分近似 $\left [ a, b \right ]$ 与子区间的形式如下:

$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}(f(x_{1}))+f\left ( x_{2} \right )+\cdots +f(x_{n}))$

它本质上是矩形，每个矩形的底边都有长度: $\frac{b-a}{n}$ 和可变高度: $f(x_{i})$ 的函数值 $x_{i}$ ．

在我们的例子中，我们有一个区间上的函数值:

f(-8)=-13

f(-5)=-19

f(-2)=6

f(1)=-9

虽然总间隔的长度是注意这些点是等距的。这个距离是子区间．由于我们使用的是每个区间的正确点，我们忽略第一个函数值:

$\int_{-8}^{1}f(x)\approx 3\left [ (-19)+(6)+(-9) \right ]$

$\int_{-8}^{1}f(x)\approx -66$

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示例问题6:集成

近似 $\int_{-2}^{23}f(x)$

使用右黎曼和，如果 f(x) 的值:

f(-2)=-2

f(3)=-15

f(8)=14

f(13)=15

f(18)=-9

f(23)=-12

可能的答案:

正确答案:

解释：

一个区间上的黎曼和积分近似 $\left [ a, b \right ]$ 与子区间的形式如下:

$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}(f(x_{1}))+f\left ( x_{2} \right )+\cdots +f(x_{n}))$

它本质上是矩形，每个矩形的底边都有长度: $\frac{b-a}{n}$ 和可变高度: $f(x_{i})$ 的函数值 $x_{i}$ ．

在我们的例子中，我们有一个区间上的函数值:

f(-2)=-2

f(3)=-15

f(8)=14

f(13)=15

f(18)=-9

f(23)=-12

虽然总间隔的长度是注意这些点是等距的之间的时间间隔。每个等距区间的长度为:5

由于我们使用的是每个区间的正确点，我们忽略第一个函数值:

$\int_{-2}^{23}f(x)\approx 5\left [ (-15)+(14)+(15)+(-9)+(-12) \right ]$

$\int_{-2}^{23}f(x)\approx -35$

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问题7:集成

近似 $\int_{-7}^{13}f(x)$

使用右黎曼和，如果 f(x) 的值:

f(-7)=18

f(-2)=-17

f(3)=-16

f(8)=-15

f(13)=-14

可能的答案:

正确答案:

解释：

一个区间上的黎曼和积分近似 $\left [ a, b \right ]$ 与子区间的形式如下:

$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}(f(x_{1}))+f\left ( x_{2} \right )+\cdots +f(x_{n}))$

它本质上是矩形，每个矩形的底边都有长度: $\frac{b-a}{n}$ 和可变高度: $f(x_{i})$ 的函数值 $x_{i}$ ．

在我们的例子中，我们有一个区间上的函数值:

f(-7)=18

f(-2)=-17

f(3)=-16

f(8)=-15

f(13)=-14

虽然总间隔的长度是注意这些点是等距的之间的时间间隔。每个等距区间的长度为:5

由于我们使用的是每个区间的正确点，我们忽略第一个函数值:

$\int_{-7}^{13}f(x)\approx 5\left [ (-17)+(-16)+(-15)+(-14) \right ]$

$\int_{-7}^{13}f(x)\approx -310$

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示例问题8:集成

近似 $\int_{4}^{12}f(x)$

使用右黎曼和，如果 f(x) 的值:

f(4)=9

f(6)=10

f(8)=-18

f(10)=15

f(12)=18

可能的答案:

272

正确答案:

解释：

一个区间上的黎曼和积分近似 $\left [ a, b \right ]$ 与子区间的形式如下:

$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}(f(x_{1}))+f\left ( x_{2} \right )+\cdots +f(x_{n}))$

它本质上是矩形，每个矩形的底边都有长度: $\frac{b-a}{n}$ 和可变高度: $f(x_{i})$ 的函数值 $x_{i}$ ．

在我们的例子中，我们有一个区间上的函数值:

f(4)=9

f(6)=10

f(8)=-18

f(10)=15

f(12)=18

虽然总间隔的长度是注意这些点是等距的之间的时间间隔。每个等距区间的长度为:．由于我们使用的是每个区间的正确点，我们忽略第一个函数值:

$\int_{4}^{12}f(x)\approx 2\left [ (10)+(-18)+(15)+(18) \right ]$

$\int_{4}^{12}f(x)\approx 50$

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示例问题9:集成

这个函数 $f\left ( x \right )$ 区间上是否有以下值 $x=\left [ -2,38 \right ]$ ：

$f\left ( -2 \right )=-13$

$f\left ( 6 \right )=-4$

$f\left ( 14 \right )=-15$

$f\left ( 22 \right )=-19$

$f\left ( 30 \right )=18$

$f\left ( 38 \right )=-8$

近似的积分 $f\left ( x \right )$ 在这个区间上使用右黎曼和。

可能的答案:

正确答案:

解释：

一个区间上的黎曼和积分近似 $\left [ a, b \right ]$ 与子区间的形式如下:

$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}(f(x_{1}))+f\left ( x_{2} \right )+\cdots +f(x_{n}))$

它本质上是矩形，每个矩形的底边都有长度: $\frac{b-a}{n}$ 和可变高度: $f(x_{i})$ 的函数值 $x_{i}$ ．

在我们的例子中，我们有一个区间上的函数值:

$f\left ( -2 \right )=-13$

$f\left ( 6 \right )=-4$

$f\left ( 14 \right )=-15$

$f\left ( 22 \right )=-19$

$f\left ( 30 \right )=18$

$f\left ( 38 \right )=-8$

虽然总间隔的长度是．

注意这些点是等距的他们之间的间隔。每个等距间隔的长度为:．由于我们使用的是每个区间的正确点，我们忽略第一个函数值:

$\int_{-2}^{38}f\left ( x \right )\approx 8\left [ (-4)+(-15)+(-19)+(18)+(-8)\right ]$

$\int_{-2}^{38}f\left ( x \right )\approx -224$

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问题10:集成

近似 $\int_{0}^{15}f(x)$

使用右黎曼和，如果 f(x) 的值:

f(0)=-19

f(5)=14

f(10)=2

f(15)=15

可能的答案:

155

180

正确答案:

155

解释：

一个区间上的黎曼和积分近似 $\left [ a, b \right ]$ 与子区间的形式如下:

$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}(f(x_{1}))+f\left ( x_{2} \right )+\cdots +f(x_{n}))$

它本质上是矩形，每个矩形的底边都有长度: $\frac{b-a}{n}$ 和可变高度: $f(x_{i})$ 的函数值 $x_{i}$ ．

在我们的例子中，我们有一个区间上的函数值:

f(0)=-19

f(5)=14

f(10)=2

f(15)=15

虽然总间隔的长度是注意这些点是等距的之间的时间间隔。每个等距区间的长度为:．由于我们使用的是每个区间的正确点，我们忽略第一个函数值:

$\int_{0}^{15}f(x)\approx 5\left [ (14)+(2)+(15) \right ]$

$\int_{0}^{15}f(x)\approx 155$

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