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微积分AB:使用自然对数的导数和高级三角函数

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例子问题

例子问题1:使用自然对数的导数和高级三角函数

下面哪个是的导数 e^x ?

可能的答案:

e^x

xe^x

$e^{-x}$

正确答案:

e^x

解释：

求导的时候 $ae^{nx}$ 我们通过乘以的系数来使用幂法则的系数．它的形式是这样的 $\frac{d}{dx}[ae^{nx}] = a*ne^{nx}$ ．这实际上是一个使用链式法则的例子，但这将在后面的主题中讨论。在这种情况下，的系数是的系数也．因此, $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$ ．

如果我们要求它的导数 $e^{2x}$ ,然后 $\frac{d}{dx}[e^{2x}] = 2e^{2x}$ ．

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例子问题2:使用自然对数的导数和高级三角函数

求函数的导数 $f(x) = 3e^{-2x}$

可能的答案:

$-6e^{-x}$

$-6e^{x}$

$-6e^{2x}$

$-6e^{-2x}$

正确答案:

$-6e^{-2x}$

解释：

我们用求导法则求 $ae^{nx}$ ．我们知道 $\frac{d}{dx}[ae^{nx}] = (a*n)e^{nx}$ ．在这种情况下， a = 3 而且 n = -2 ．

$\frac{d}{dx}[3e^{-2x}] = (3*-2)e^{-2x} = -6e^{-2x}$

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例子问题3:使用自然对数的导数和高级三角函数

下面哪个是正确的导数 f(x) = sin(x) ?

可能的答案:

xsin(x)

-cos(x)

-sin(x)

cos(x)

正确答案:

cos(x)

解释：

当我们求导数的时候 sin(x) 我们求的是函数在某一点/角度上的变化率 sin(x) ．如果我们考虑用函数的图像求导数 sin(x) 的切线 sin(x) 在某一点/角度。这样想，我们可以看到 sin(x) 由 cos 给定角度的。它的一般形式是 $\frac{d}{dx}[asin(nx)] = (a*n)sin(nx)$

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问题4:使用自然对数的导数和高级三角函数

求函数的导数 f(x) = 4sin(2x) ．

可能的答案:

f'(x) = 8cos(2x)

f'(x) = 8sin(2x)

f'(x) = -8cos(2x)

f'(x) = 8cos(x)

正确答案:

f'(x) = 8cos(2x)

解释：

我们需要用我们的求导法则来求 asin(nx) ， $\frac{d}{dx}[asin(nx)] = (a*n)sin(nx)$ ．

f(x) = 4sin(2x)

f'(x) = (4*2)cos(2x)

f'(x) = 8cos(2x)

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例5:使用自然对数的导数和高级三角函数

下面哪个是正确的导数 cos(x) ?

可能的答案:

-cos(x)

sin(x)

-sin(x)

cos(x)

正确答案:

-sin(x)

解释：

求的导数 cos(x) ，我们使用规则 $\frac{d}{dx}[acos(nx)] = -(a*n)sin(nx)$ 在哪里 a,n 是常数。我们使用 -sin(x) 因为 -sin(x) 它的切线是 cos(x) 在每个给定的点上给出函数在每个给定角度上的变化率 cos(x) ．

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例子问题6:使用自然对数的导数和高级三角函数

求函数的导数 f(x) = cos(2x + 3) ．

可能的答案:

f'(x) = -2cos(2x+3)

f'(x) = 2sin(2x+3)

f'(x) = -2sin(2x+3)

f'(x) = -2cos(2x+3)

正确答案:

f'(x) = -2sin(2x+3)

解释：

首先求余弦函数的导数。的导数 2x+3 是．现在求导数 cos(x) 是 -sin(x) ．余弦函数的量保持不变。现在我们用这个形式 $\frac{d}{dx}[acos(nx)] = -(a*n)sin(nx)$ 写出导数。

f(x) = cos(2x+3)

f'(x) = (2)*-sin(2x+3)

f'(x) = -2sin(2x+3)

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例子问题1:使用自然对数的导数和高级三角函数

下面哪个是正确的导数 ln(x) ?

可能的答案:

xln(x)

$\frac{1}{x}$

$\frac{1}{ln(x)}$

正确答案:

$\frac{1}{x}$

解释：

求自然对数导数的法则是if f(x) = aln(nx) 然后 $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ ．如果我们想求导数 $f'(x) = \frac{a*n}{nx}$ 我们会有 ln(2x) ．

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例8:使用自然对数的导数和高级三角函数

求函数的导数 $f(x) = -sin(x) + 2e^{3x}$ ．

可能的答案:

$f'(x) = -cos(x) + 6e^{3x}$

$f'(x) = cos(x) + 6e^{3x}$

$f'(x) = -cos(x) + 6e^{2x}$

$f'(x) = sin(x) + 6e^{3x}$

正确答案:

$f'(x) = -cos(x) + 6e^{3x}$

解释：

我们知道的导数 sin(x) 是 cos(x) 我们也知道，当我们要求导数的时候 e^x 指数不变，系数相乘的系数．

$f(x) = -sin(x) +2e^{3x}$

$f'(x) = -cos(x) + (2)(3)e^{3x}$

$f'(x) = -cos(x) + 6e^{3x}$

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例子问题2:使用自然对数的导数和高级三角函数

评估 $lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{sin(x+\Delta x) -sin(x)}{\Delta x}$

可能的答案:

cos(x)

tan(x)

$\pi$

正确答案:

cos(x)

解释：

我们可以认识到这就是导数的定义。一旦我们知道了导数的定义我们就能明白了 f(x) = sin(x) ．所以这个问题实际上就是让我们求 f'(x) ．所以我们的答案是 f'(x) = cos(x) ．

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例子问题10:使用自然对数的导数和高级三角函数

求函数的导数 $f(x)=2+\ln(3x^{2}+2x)$ ．

可能的答案:

f'(x)=6x+2

$f'(x)=\frac{6x+2}{6x}$

$f'(x)=\frac{6x+2}{3x^{2}+2x}$

$f'(x)=\frac{3x^{2}+2x}{6x+2}$

正确答案:

$f'(x)=\frac{6x+2}{3x^{2}+2x}$

解释：

我们从假设规则开始 $f(x)=a\ln (nx)$ 然后 $f'(x)=\frac{a*n}{nx}$ ． a=1 然后我们必须求出对数函数内这个量的导数。如果我们要求导 $3x^{2}+2x$ 然后我们有 6x+2 这是导数的分子。

$f(x)=2+\ln(3x^{2}+2x)$

$f'(x)=0+\frac{6x+2}{3x^{2}+2x}$

$f'(x)=\frac{6x+2}{3x^{2}+2x}$

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