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微积分AB:找到横截面:正方形和矩形

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例子问题

问题1:找到横截面:正方形和矩形

求一个金字塔的体积，它的底部是一个边长为正方形的正方形谁的身高是．

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，重要的是要考虑这个固体的形状。这个实体是一个金字塔，有一个正方形面和四个三角形面。通过相似三角形的关系，我们能够将已知的信息(高度底边长是)转换为一般变量的边长 (x) 和金字塔的高度 (y) ．我们可以把它想象成坐标平面，金字塔的宽度在方向。

$\frac{x}{3}=\frac{y}{10} \Rightarrow x=\frac{3y}{10}$

因为边长能否求出金字塔底面积的一般公式 (A=x^2) ，这可以通过截面公式应用于体积 $(V=\int_{a}^{b}A(x) dx)$ 作为下一步。注意方程 $x=\frac{3y}{10}$ 上面的解为．所以新的体积函数，也是关于 $y: V=\int_{a}^{b}(\frac{3y}{10})^2 \: dy$

因为金字塔达到了最大高度，我们假设金字塔的起始高度为 y=0 ，积分表达式的适当界限为: $0\leq y\leq 10$ ．

为了总结这个问题，将上述信息合并成一个有凝聚力的表达式:

$V=\int_{0}^{10}(\frac{3y}{10})^2 dy =\frac{9}{100} \int_{0}^{10}y^2dy =\frac{9}{100}[\frac{1}{3}y^3] |_0^{10}=\frac{9}{100}*\frac{1}{3}*1000=30$

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问题2:找到横截面:正方形和矩形

求基底为的固体的体积 y=x+4 而且 y=x^2-2 它们的横截面是高的矩形垂直于轴。

可能的答案:

62.5

50.5

正确答案:

62.5

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

矩形的面积是 A=l*w ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}lw \: dx$ ．

接下来，一个表达式必须确定。问题指定了矩形横截面的长度(或高度)是．这只会让w的值被找到。矩形的宽度将随着创建实体底部的区域的变化而变化。这个区域是由中间包围的区域定义的 y=x+4 而且 y=x^2-2 因此, w=(x+4)-(x^2-2)=6+x-x^2 ．

因为这个区域是由 y=x+4 而且 y=x^2-2 ， base有以下域: $-2\leq x\leq 3$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{-2}^{3}(3)(6+x-x^2) dx$ $= 3[6x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3] |_{-2}^3=3(18+\frac{9}{2}-9+12-2-\frac{8}{3})=62.5$

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问题3:找到横截面:正方形和矩形

确定基底为边界的固体体积的正确表达式 y=x-3 ， y=0 而且 y=5-x 它的横截面是垂直于轴。

可能的答案:

$V=\int_{3}^{5}y^2 \: dy$

$V=\int_{3}^{5}4x^2-32x+64 \: dx$

$V=\int_{3}^{5}4y^2-32y+64 \: dy$

$V=\int_{3}^{5}x^2 \: dx$

正确答案:

$V=\int_{3}^{5}4x^2-32x+64 \: dx$

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

正方形的面积是 A=s^2 ， s为正方形的边长。把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}s^2 \: dx$ ．

接下来，必须确定s2的表达式。因为s应该是实体底的宽度，所以这个长度的表达式可以用来解出s2。

s=(x-3)-(5-x)=2x-8

s^2=(2x-8)^2=4x^2-32x+64

因为这个区域是由 y=x-3 而且 y=5-x ， base有以下域: 3x5 ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{3}^{5}4x^2-32x+64 \: dx$

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问题4:找到横截面:正方形和矩形

找出基底为半径圆盘的固体体积的正确表达式它的横截面是平行于轴。

可能的答案:

$\int_{-R}^{R}R^2-x^2 \: dx$

$4\int_{-R}^{R}y^2 \: dy$

$4\int_{-R}^{R}R^2-y^2 \: dy$

$\int_{-R}^{R}R^2 \: dy$

正确答案:

$4\int_{-R}^{R}R^2-y^2 \: dy$

解释：

横截面平行于轴;也就是说，它们垂直于轴。这表明表达式应该是．

因为圆盘是有半径的，基数由下式定义: x^2+y^2=R^2 ．

正方形的面积是 A=s^2 ，其中s为边长。把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(y) \: dy)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}s^2 \: dy$ ．

半径定义边界为 $-R\leq y\leq R$ ．接下来,可以通过理解找到吗随着圆的宽度的变化而变化。的价值从圆的一边到另一边的距离是任意一点吗 $-R\leq y\leq R$ ．因此，正方形的一条边的长度是 $s=2\sqrt{R^2-y^2}$ ．

综上所述，可以得到以下信息:

$V=\int_{-R}^{R}(2\sqrt{R2-y^2})^2\: dy= 4\int_{-R}^{R}R^2-y^2 dy$

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问题5:找到横截面:正方形和矩形

让被限定的区域 y=e^x ， x=0 , x=4 ．求底为区域的固体的体积它的横截面是垂直于轴。

可能的答案:

$\frac{e^8-1}{2}$

e^4

e^8

$\frac{e^4-1}{2}$

正确答案:

$\frac{e^8-1}{2}$

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

正方形的面积是 A=s^2 ， s为正方形的边长。把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}s^2\: dx$ ．

接下来，一个表达式 s^2 必须确定。因为s应该是实体底的宽度，这个长度的表达式可以用来求解 s^2 ．

s=e^x-0

$s^2=e^{2x}$

因为这个区域是由 x=0 而且 x=4 ， base有以下域: $0\leq x\leq 4$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{0}^{4}e^{2x} \: dx =[\frac{1}{2}e^{2x}] |_0^4=\frac{1}{2}(e^8-e^0)=\frac{e^8-1}{2}$

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问题6:找到横截面:正方形和矩形

让被限定的区域 y=x^2-9 而且 y=0 ．求底为区域的固体的体积它们的横截面是垂直于的矩形轴与高度．

可能的答案:

265

278

300

360

正确答案:

360

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

矩形的面积是 A=l*w ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}lw \: dx$ ．

接下来，一个表达式必须确定。问题指定了矩形横截面的长度(或高度)是．只剩下被发现。矩形的宽度将随着创建实体底部的区域的变化而变化。这个区域是由中间包围的区域定义的 y=x^2-9 而且 y=0 因此, w=(0)-(x^2-9) =9-x^2 ．

因为这个区域是由 y=x^2-9 而且 y=0 ， base有以下域: $-3\leq x\leq 3$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{-3}^{3}10(9-x^2) dx =10[9x-\frac{1}{3}x^3] |_{-3}^3=10(27-9+27-9)=360$

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问题7:找到横截面:正方形和矩形

让被限定的区域 y=x^2+3 ， x=0 而且 y=12 ．求底为区域的固体的体积它们的横截面是垂直于的矩形轴与高度．

可能的答案:

108

正确答案:

108

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

矩形的面积是 A=l*w ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(y) \: dy)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}lw \: dy$ ．

接下来，一个表达式必须确定。问题指定了矩形横截面的长度(或高度)是．只剩下被发现。矩形的宽度将随着创建实体底部的区域的变化而变化。这个区域是由中间包围的区域定义的 y=x2+3 ， x=0 而且 y=12 ．这个函数 y=x^2+3 重写为成为 $x=\sqrt{y-3}$ ，因为最后的表达式应该反映这样一个事实，即横截面应该写成．因此, $w=\sqrt{y-3} -0 =\sqrt{y-3 }$ ．

因为这个区域是由 y=x^2+3 而且 y=12 ， base有以下域: $3\leq y\leq 12$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{3}^{12}6(\sqrt{y-3}) dy$ $=6\int_{3}^{12}(y-3)^{\frac{1}{2}} dy =6[\frac{2}{3}(y-3)^{\frac{3}{2}}] |_3^{12} =4(27-0)=108$

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问题8:找到横截面:正方形和矩形

确定基底为边界的固体体积的正确表达式 y=ln(x)+2 和轴沿 $1\leq x\leq 4$ ，其截面是垂直于的矩形高度是宽度的三倍的轴。

可能的答案:

$3\int_{1}^{4}ln(x)+2ln(x) \: dx$

$3\int_{1}^{4}ln(x)^2+4ln(x)+4 \: dx$

$3\int_{1}^{4}ln(x)^2+4 \: dx$

$3\int_{1}^{4}ln(x)^2 \: dx$

正确答案:

$3\int_{1}^{4}ln(x)^2+4ln(x)+4 \: dx$

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

矩形的面积是 A=l*w ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^b{}lw \: dx$ ．

接下来，一个表达式必须确定。该问题指定矩形横截面的长度(或高度)是宽度值的三倍，或 l=3w ．现在可以修改音量表达式: $V=\int_{a}^{b}3w^2 \: dx$

只剩下被发现。矩形的宽度将随着创建实体底部的区域的变化而变化。这个区域是由中间包围的区域定义的 y=ln(x)+2 而且 y=0 ,以及 $1\leq x\leq 4$ ．因此, w=ln(x)+2-0 ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{1}^{4}3(ln(x)+2)^2 dx=3\int_{1}^{4}ln(x)^2+4ln(x)+4 \: dx$

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问题9:找到横截面:正方形和矩形

确定基底为边界的固体体积的正确表达式 y=x^5-x^3+4 而且 y=4 它的横截面是垂直于轴。

可能的答案:

$V=\int_{0}^{4}x^5-x^3-4x \: dx$

$V=\int_{0}^{4}x^6-2x^8+x^{10} \: dx$

$V=\int_{0}^{1}x^3- x^5 \: dx$

$V=\int_{0}^{1}x^6-2x^8+x^{10} \: dx$

正确答案:

$V=\int_{0}^{1}x^6-2x^8+x^{10} \: dx$

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

正方形的面积是 A=s^2 ,在那里是正方形的边长。把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}s^2\: dx$ ．

接下来，一个表达式 s^2 必须确定。因为s应该是实体底的宽度，这个长度的表达式可以用来求解 s^2 ．

s=(4)-(x^5-x^3+4)=x^3-x^5

$s^2=(x^3-x^5)^2=x^6-2x^8+x^{10}$

因为这个区域是由 y=x^5-x^3+4 而且 y=4 ， base有以下域: $0\leq x\leq 1$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{0}^{1}x^6-2x^8+x^{10} \: dx$

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问题10:找到横截面:正方形和矩形

确定基底为边界的固体体积的正确表达式 y=sin(x) 而且 y=0 沿着它的横截面是垂直于轴。

可能的答案:

$V=\int_{0}^{\pi}sin (x) - \frac{\pi}{2}\: dx$

$V=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sin^2(y)\: dy$

$V=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sin^2(x)\: dx$

$V=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sin (x)\: dx$

正确答案:

$V=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sin^2(x)\: dx$

解释：

横截面垂直于轴;因此，体积表达式为．

正方形的面积是 A=s^2 ,在那里是正方形的边长。把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}s^2 \: dx$ ．

接下来，一个表达式 s^2 必须确定。因为应该是固体底部的宽度，这个长度的表达式可以用来求解 s^2 ．

s=sin(x)-0

s^2=sin^2(x)

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sin^2(x) \: dx$

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