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微积分AB:定义点和区间上的连续性

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例子问题

例子问题1:定义点和区间上的连续性

下列哪项是连续性的正确定义?

可能的答案:

一个函数 f(x) 是连续的 x = a 如果 $lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$

一个函数 f(x) 是连续的 x = a 如果 $lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = f(a)$

一个函数 f(x) 是连续的 x = a 如果 $lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(a)$

一个函数 f(x) 是连续的 x = a 如果 $lim_{a\rightarrow x} f(x) = f(a)$

正确答案:

一个函数 f(x) 是连续的 x = a 如果 $lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$

解释：

一个函数在区间上是连续的如果它在区间上的每一点上都是连续的。你可以用连续性的定义来检查一个函数在某些点上是否连续:

一个函数 f(x) 是连续的 x = a 如果 $lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$

这个定义假设两者都是 $lim_{x\rightarrow a}$ 而且 f(a) 存在。如果其中任何一个不存在或如果 $lim_{x\rightarrow a} f(x) \neq f(a)$ ，则函数 f(x) 在点上不是连续的这个函数在任何区间上都不是连续函数．

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例子问题2:定义点和区间上的连续性

下面的函数如下图所示。根据图，是函数 f(x) 在区间上连续 [-1.5, 0.5] ?

Q2图1

可能的答案:

不, f(x) 在这个区间上不是一个连续函数吗

是的, f(x) 是这个区间上的连续函数吗

没有足够的信息来回答这个问题

正确答案:

不, f(x) 在这个区间上不是一个连续函数吗

解释：

从图表中我们可以看到 f(-1) 图表上有个洞。这意味着函数在这里是不连续的，这种不连续称为可移不连续。

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示例问题3:定义点和区间上的连续性

确定下面的函数在区间上是否连续 [-2, 2] ．

$f(x) = \frac{4x + 12}{x^2 -2 +1}$

可能的答案:

是的，这个函数在给定的区间上是连续的

不，函数在给定的区间上不是连续的

没有提供足够的信息

正确答案:

不，函数在给定的区间上不是连续的

解释：

重要的是要注意，除了分母为零的点，有理函数在任何地方都是连续的。为了找到不连续点我们设分母为零，然后解出．

x^2 - 2 +1 = 0

(x - 1)(x - 1) = 0 (分解)

(x-1)^2 = 0

因为这个因素 (x-1)^2 我们只需要设置 (x-1) 等于0来解。

x-1 = 0

x=1

这个函数在其他地方都是连续的 x=1 ．我们试着确定这个函数在给定的区间上是否连续 [-2, 2] 自在这个区间内，那么函数在给定的区间内是不连续的。

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示例问题4:定义点和区间上的连续性

使用极限，确定以下函数在点是否连续．

$f(x) = \frac{2x + 5}{x -2}$

可能的答案:

没有提供足够的信息

不, f(x) 不是连续的

是的, f(x) 是连续的

正确答案:

是的, f(x) 是连续的

解释：

我们必须使用我们对连续性的定义:

f(x) 是连续的 x = 1 如果 $lim_{x\rightarrow 1}f(x) = f(1)$

现在我们用这个定义来计算极限方法．

$lim_{x\rightarrow 1} f(x) = lim_{x\rightarrow 1} \frac{2x+5}{x-2} = \frac{lim_{x\rightarrow 1} 2x+5}{lim_{x\rightarrow 1}x - 2} = \frac{2(1) +5}{1-2} = \frac{7}{-1} = -7$

现在让我们检查 f(-1)

$f(-1) = \frac{2(1) + 5}{1-2} = \frac{7}{-1} = -7$

所以 $lim_{x\rightarrow 1}f(x) = f(1)$ 因此这个函数是连续的．

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问题41:微积分Ab

True或False:函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix} 1 \text{ if x} < 0 & \\ x \text{ if x} \geq 0 & \end{matrix}\right.$ 到处都是连续的。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

假

解释：

如果我们把这个函数画出来，就能知道发生了什么。

Q5图

所以当我们看到 x<0 函数的图像保持在,但当 $x\geq 0$ 那么这个图的函数等于．即使有一个解决方案 x = 0 ，极限不存在。这被称为跳跃不连续，即函数的图(也是函数本身，但更容易考虑图)从一个解跳到另一个解，图中有断点。

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示例问题6:定义点和区间上的连续性

使用极限，确定以下函数是否在点连续．

$f(x) = \frac{x^3-5}{x^2+4}$

可能的答案:

是的, f(x) 是连续的

不, f(x) 不是连续的

正确答案:

是的, f(x) 是连续的

解释：

我们必须使用我们对连续性的定义: f(x) 是连续的 x = 0 如果 $lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)$

现在我们解极限为方法我们会解出 f(0) ．

$lim_{x\rightarrow 0} f(x) = lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3-5}{x^2+4} = \frac{lim_{x\rightarrow 0}x^3-5}{lim_{x\rightarrow 0}x^2+4} = \frac{0 - 5}{0 + 4} = -\frac{5}{4}$

现在我们来解 f(0)

$f(0) = \frac{0 - 5}{0+4} = -\frac{5}{4}$

所以 $lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)$ 也就是说这个函数是连续的 x = 0 ．

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示例问题7:定义点和区间上的连续性

对于连续性条件，下列哪个选项是正确答案

可能的答案:

f(x) 在点处定义

f(x) 在点处定义而且 $lim_{x\rightarrow a} f(x)$ 存在

$lim_{x\rightarrow a} f(x)$ 存在

f(x) 在点处定义， $lim_{x\rightarrow a} f(x)$ 存在, $lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$

正确答案:

f(x) 在点处定义， $lim_{x\rightarrow a} f(x)$ 存在, $lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$

解释：

我们从连续性的定义中知道这一点 $lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$ ． f(x) 必须定义(即存在)点为了让极限等于 f(a) 极限也必须存在才能等于 f(a) ．

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问题42:微积分Ab

真或假:函数可以从右连续到左连续，但在某一点上不是连续的。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

真正的

解释：

一个函数从右开始是连续的 $lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = f(a)$ 一个函数从左开始是连续的 $lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = f(a)$ ．以下图中的函数为例:

游戏的图形

我们会说这个函数是连续的 x = 0 因为这就是跳跃不连续发生的地方包括从右侧接近但不从左侧接近。

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例子问题1:定义点和区间上的连续性

真假:所有的多项式在实数线上都是连续的(不包括有理函数内的多项式)。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

真正的

解释：

这是正确的。把二项 x^2 + 1x^2 + 1 为例。这个函数的定义域是在整个实数轴上定义的所以它在每个实数点上都有定义。这个函数在任何一点上都存在一个极限，并且在这个函数中没有断点或跳跃。所以所有多项式在所有实数上都是连续的。

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示例问题10:定义点和区间上的连续性

在哪里 $f(x) = \frac{1}{3cos(x) - 2}$ 不连续的吗?解决在弧度。

可能的答案:

$x = \frac{\pi}{2}$ 而且 $x = \frac{3\pi}{2}$

$x = 0.841 + 2\pi n$ 而且 $x = 5.442 +2\pi n$ 在哪里 $n=\pm 1,\pm 2,$

x = 0.841 而且 x = 5.442

$x = \pi$ 而且 x = 0

正确答案:

$x = 0.841 + 2\pi n$ 而且 $x = 5.442 +2\pi n$ 在哪里 $n=\pm 1,\pm 2,$

解释：

我们知道所有有理函数在任何地方都是连续的除了分母等于．我们先把分母设为和解决．

3cos(x) - 2 = 0

$cos(x) = \frac{2}{3}$

$x=cos^{-1}(\frac{2}{3})$

x=0.841

但这只给了我们一个解而且 $\pi$ ．所以我们也必须考虑 $2\pi - 0.841 = 5.442$ ．我们知道每一个解对于圆的每一次旋转都有不连续点 $2\pi$ ．所以函数在点处不连续

$x=0.841 + 2\pi n$ 在哪里 $n=\pm 1, \pm 2,$

$x=5.442 + 2\pi n$ 在哪里 $n=\pm 1, \pm 2,$

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