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微积分3:球坐标下的三重积分

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例子问题

问题1:球坐标下的三重积分

评估 $\int \int \int_F 20z \ dV$ ,在那里是球面的上半部分吗 x^2+y^2+z^2=1 ．

可能的答案:

$\pi$

$5\pi$

$4\pi$

$2\pi$

正确答案:

$5\pi$

解释：

由于我们只处理球面的上半部分，我们可以很容易地确定边界，并记住转换为球坐标。

$0 \leq \rho \leq 1$

$0 \leq \theta \leq2\pi$

$0 \leq\phi\leq \frac{\pi}{2}$

$\int \int \int_F 20z \ dV=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \rho^2\sin(\phi)(20\rho\cos(\phi)) d\rho \ d\theta\ d\phi$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 20\rho^3\sin(\phi)\cos(\phi) d\rho \ d\theta\ d\phi$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} 5\rho^4\sin(\phi)\cos(\phi) \Big|_{0}^{1} \ d\theta\ d\phi$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} 5(1)^4\sin(\phi)\cos(\phi)-0 \ d\theta\ d\phi$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} 5\sin(\phi)\cos(\phi) \ d\theta\ d\phi$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5\theta \sin(\phi)\cos(\phi) \Big|_{0}^{2\pi} \ d\phi$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 10\pi \sin(\phi)\cos(\phi)-0 \ d\phi$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 10\pi \sin(\phi)\cos(\phi) \ d\phi$

$= -5\pi \cos^2(\phi)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= -5\pi \cos^2(\frac{\pi}{2})+5\pi \cos^2(0)=5\pi$

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