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微积分3:向量场的线积分

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例子问题

例子问题1:向量场的线积分

评估 $\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$ ,在那里 $\vec{F}(x,y,z)=10x^2y^2z^3\vec{i}+5z\vec{j}+2yz\vec{k}$ ,曲线是由 $\vec{r}(t)=t\vec{i}+t^2\vec{j}+t^3\vec{k}$ ， $0\leq t \leq 1$ ．

可能的答案:

$\frac{13}{24}$

$\frac{59}{24}$

$\frac{24}{67}$

$\frac{67}{24}$

正确答案:

$\frac{67}{24}$

解释：

首先，我们需要求出沿曲线求出的向量场。

$\vec{F}(\vec{r}(t))=10t^2(t^2)^2(t^3)^3\vec{i}+5t^3\vec{j}+2t^2t^3\vec{k}$

$\vec{F}(\vec{r}(t))=10t^{15}\vec{i}+5t^3\vec{j}+2t^5\vec{k}$

现在我们要求它的导数 $\vec{r}(t)$

$\vec{r}\ '(t)=\vec{i}+2t\vec{j}+2t^2\vec{k}$

现在我们可以做乘积了 $\vec{F}(\vec{r}(t))$ 而且 $\vec{r}(t)$ ．

$\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}(t)=(10t^{15}, 5t^3, 2t^5)\cdot(1, 2t, 2t^2)$

$=10t^{15}+10t^5+4t^7$

现在我们可以把它代入积分并求值。

$\int_{0}^{1} 10t^{15}+10t^5+4t^7 \ dt$

$=\Big(\frac{5}{8}t^{16}+\frac{5}{3}t^6+\frac{1}{2}t^8\Big)\Big|_{0}^{1}$

$=\Big(\frac{5}{8}(1)^{16}+\frac{5}{3}(1)^6+\frac{1}{2}(1)^8\Big)$

$=\frac{5}{8}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2}=\frac{13}{6}+\frac{5}{8}=\frac{30}{48}+\frac{104}{48}=\frac{134}{48}=\frac{67}{24}$

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例子问题2:向量场的线积分

求在力场中运动的粒子所做的功 F = <x^2,y^2> ，从 (2,4) 来 (5,25) 在给定的路径上 y=x^2 ．

可能的答案:

2613

5226

正确答案:

5226

解释：

功的公式由

$W = \int_C F(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$ ．

把路径写成参数方程形式，我们有

x=t, y=t^2, 2<t<5 ．

因此

$\mathbf{r}(t) = <t,t^2>, F(\mathbf{r}(t))=<t^2,t^4>, \mathbf{r}'(t)= <1,2t>$

把这个代入功方程，得到

$W = \int_C F(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$

$= \int_{2}^{5}<t^2,t^4> \cdot <1,2t> dt$

$= \int_2^5 t^2+2t^5 dt$ ．

= 5226

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例子问题3:向量场的线积分

评估 $\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$ 在曲线上 $\vec{r}(t)=\left \langle 2t, 3t, t^3\right \rangle$ ， $0\leq t \leq 1$ ,在那里 $\vec{F}=\left \langle 2xz, y^2, z^2\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\frac{32}{6}$

$\frac{32}{3}$

$\frac{164}{15}$

正确答案:

$\frac{164}{15}$

解释：

向量场的线积分由

$\int \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int [\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r'}(t)]dt$

因此，我们必须计算曲线上的向量场:

$\vec{F}(\vec{r}(t))=\left \langle 2(2t)(t^3), 9t^2, t^6\right \rangle$

然后，对曲线对t求导:

$\vec{r'}(t)=\left \langle 2, 3, 3t^2\right \rangle$

求这两个向量的点积，得到

8t^4+27t^2+3t^8

这是积分的被积函数。积分，得到

$\int_{0}^{1}(8t^4+27t^2+3t^8 )dt = \frac{8t^5}{5}+\frac{27t^3}{3}+\frac{3t^9}{9}\Big|^{1}_{0}= \frac{164}{15}$

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问题4:向量场的线积分

求积分 $\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$ 在曲线上 $\vec{r}(t)=\left \langle t^3, t^2, t+2\right \rangle$ ,在那里 $\vec{F}=\left \langle xz, yz, xy\right \rangle$ ，在间隔时间 $0 \leq t \leq 1$

可能的答案:

$\frac{629}{105}$

$\frac{629}{210}$

$\frac{419}{210}$

正确答案:

$\frac{629}{210}$

解释：

向量场的线积分等于

$\int_{0}^{1}[\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r'}(t)]dt$

向量场的参数化(使用曲线的相应元素)是

$\vec{F}(\vec{r}(t))= \left \langle t^4+2t^3, t^3+2t^2, t^5\right \rangle$

参数曲线的导数为

$\vec{r'}(t)=\left \langle 3t^2, 2t, 1 \right \rangle$

求这两个向量的点积，我们得到

$\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r'(t)}= 3t^6+6t^5+2t^4+4t^3+t^5= 3t^6+7t^5+2t^4+4t^3$

在给定的区间内对t积分，得到

$\int_{0}^{1}(3t^6+7t^5+2t^4+4t^3)dt=\frac{3t^3}{7}+\frac{7t^6}{6}+\frac{2t^5}{5}+t^4\left.\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\right|= \frac{629}{210}$

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例5:向量场的线积分

计算 $\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$ 在间隔中 $0\leq t \leq1$ ,在那里 $\vec{F}=\left \langle x, xy, z^2\right \rangle$ 而且 $\vec{r}(t)=\left \langle 2t^2, t+2, t\right \rangle$

可能的答案:

$\frac{25}{6}$

$\frac{25}{3}$

$\frac{5}{3}$

正确答案:

$\frac{25}{6}$

解释：

为了计算向量场的线积分，我们必须对曲线上的向量场求值，对曲线求导，并对给定区间上的点积进行积分。

在给定曲线上求出的向量场为

$\vec{F}(\vec{r}(t))=\left \langle 2t^2, 2t^3+4t^2, t^2\right \rangle$

曲线的导数由

$\vec{r'}(t)=\left \langle 4t, 1, 1\right \rangle$

它们的点积是

$\vec{F}(\vec{r(t)})\cdot \vec{r'}(t)=11t^3+5t^2$

对给定的t区间积分，得到

$\int_{0}^{1}(10t^3+5t^2)dt=\frac{5t^4}{2}+\frac{5t^3}{3}\Big|^{1}_{0}= \frac{25}{6}$

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