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微积分3:弧长和曲率

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例子问题

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例子问题1:弧长和曲率

确定曲线的长度 $\vec{r}(t)=\left \langle t,4\sin(2t),4\cos(2t)\right \rangle$ ，在间隔时间 $0\leq t\leq 2\pi$

可能的答案:

$\sqrt{65}$

$2\pi$

$\pi$

$2\pi\sqrt{65}$

正确答案:

$2\pi\sqrt{65}$

解释：

首先我们需要求出切向量，求出它的大小。

$\vec{v}(t)=\vec{r}\ '(t)=\left \langle 1, 8\cos(2t), -8\sin(2t)\right \rangle$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1^2+(8\cos(2t))^2+(-8\sin(2t))^2}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64\cos^2(2t)+64\sin^2(2t)}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64(\cos^2(2t)+\sin^2(2t))}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$

现在我们可以建立弧长积分

$L=\int_{a}^{b}\left \| \vec{v}(t)\right \|dt$

$L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{65}\ dt=t\sqrt{65}\Big|_{0}^{2\pi}=2\pi\sqrt{65}$

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例子问题2:弧长和曲率

确定曲线的长度 $\vec{r}(t)=\left \langle t,3\sin(4t),3\cos(4t)\right \rangle$ ，在间隔时间 $0\leq t\leq 2\pi$

可能的答案:

$2\pi\sqrt{145}$

$2\pi$

$\sqrt{145}$

$2\sqrt{145}$

正确答案:

$2\pi\sqrt{145}$

解释：

首先我们需要求出切向量，求出它的大小。

$\vec{v}(t)=\vec{r}\ '(t)=\left \langle 1, 12\cos(4t), -12\sin(4t)\right \rangle$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1^2+(12\cos(4t))^2+(-12\sin(4t))^2}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+144\cos^2(4t)+144\sin^2(4t)}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+144(\cos^2(2t)+\sin^2(2t))}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+144}=\sqrt{145}$

现在我们可以建立弧长积分

$L=\int_{a}^{b}\left \| \vec{v}(t)\right \|dt$

$L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{145}\ dt=t\sqrt{145}\Big|_{0}^{2\pi}=2\pi\sqrt{145}$

报告错误

例子问题3:弧长和曲率

求曲线的长度 $<e^{2t},e^{-2t},2\sqrt{2}t>$ ,从 t=0 , t=5

可能的答案:

$e^{10}-e^{-10}$

$e^{5}-e^{-5}$

其他答案都没有

$e^{10}$

正确答案:

$e^{10}-e^{-10}$

解释：

三维空间中参数曲线的长度公式为 $l = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{(\frac{dx_1}{dt})^2+(\frac{dx_1}{dt})^2+(\frac{dx_3}{dt})^2} dt$

求导数，代入

$l = \int_{0}^{5}\sqrt{(2e^{2t})^2+(-2e^{-2t})^2+(2\sqrt{2})^2} dt$

$l = \int_{0}^{5}\sqrt{4e^{4t}+4e^{-4t}+8} dt$

$l = 2\int_{0}^{5}\sqrt{e^{4t}+e^{-4t}+2} dt$ 。一个因素根号外。

$l = 2\int_{0}^{5}\sqrt{e^{4t}+e^{-4t}+2e^{2t}e^{-2t}} dt$ 。“Uncancel” $e^{2t}, e^{-2t}$ 旁边是。现在根号里面有一个完全平方。

$l = 2\int_{0}^{5}\sqrt{(e^{2t}+e^{-2t})^2} dt$ 。因素

$l = 2[\frac{1}{2}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{-2t}]_{0}^{5}$ 。取平方根，然后积分。

$=2(\frac{e^{10}}{2}-\frac{e^{-10}}{2})-2({0})$

$=e^{10}-e^{-10}$

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问题4:弧长和曲率

求向量函数所画出的弧长 $F(t) = <a\cos t, a\sin t, at>$ 与 a>0 从 t = 0 来 $t =\pi$ 。

可能的答案:

$\pi$

$\pi a$

其他答案都没有

$2a^2\pi$

$\sqrt2 a \pi$

正确答案:

$\sqrt2 a \pi$

解释：

为了求出一个函数的弧长，我们使用这个公式

$\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 +(\frac{dy}{dt})^2 +(\frac{dz}{dt})^2} dt$ 。

使用 $t_0 =0, t_1 =\pi$ 我们有

$=\int_0^\pi \sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2 +(a)^2} dt$

$=\int_0^\pi \sqrt{a^2\sin^2 t+a^2\cos^2 t +a^2} dt$

$=\int_0^\pi \sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t) +a^2} dt$

$=\int_0^\pi \sqrt{a^2 +a^2} dt$

$=[\sqrt2at]_0^\pi$

$=\sqrt{2} a \pi$

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例5:弧长和曲率

求函数的曲率 y=10x^2 在这一点上 (1,10) 。

可能的答案:

$\frac{20}{401^{2/3}}$

$\frac{20}{400^{2/3}}$

$\frac{20}{400^{3/2}}$

$\frac{20}{401^{3/2}}$

正确答案:

$\frac{20}{401^{3/2}}$

解释：

笛卡尔方程曲率的公式是 $\kappa(x)= \frac{|f''(x)|}{[1+(f'(x))^2]^{3/2}}$ 。(它不是最容易记住的，但它是笛卡尔方程最方便的形式。)

我们有 f'(x) =20x, f''(x) = 20 ,因此

$\kappa(x)= \frac{|20|}{[1+(20x)^2]^{3/2}}$

而且 $\kappa(1)= \frac{|20|}{[1+(20(1))^2]^{3/2}} = \frac{20}{401^{3/2}}$ 。

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例子问题6:弧长和曲率

求出参数曲线的长度

$\vec{r}(t)= \left< \frac{\sqrt{10}}{2}t^2, \frac{1}{3}t^3,5t+14\right>$

为 $0\leq t \leq 2$ 。

可能的答案:

$\frac{25}{3}$

$\frac{10}{3}$

$\frac{38}{3}$

正确答案:

$\frac{38}{3}$

解释：

为了找到解决方案，我们需要评估

$L = \int_0^2 \left| \vec{r}(t)' \right| dt$ 。

首先，我们发现

$\vec{r}(t)' = \left< \sqrt{10}t, t^2, 5\right>$ ，这就导致

$\left| \vec{r}(t)' \right| = \sqrt{(\sqrt{10}t)^2+(t^2)^2+(5)^2}$

$\left| \vec{r}(t)' \right| = \sqrt{t^4+10t^2+25}=\sqrt{(t^2+5)^2}=t^2+5$ 。

所以我们有一个最终的表达式来积分得到答案

$L= \int_0^2 \left| \vec{r}(t)' \right| dt = \int_0^2 \left(t^2+5 \right )dt= \frac{(2)^3}{3}+5(2)=\frac{38}{3}$

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示例问题7:弧长和曲率

确定在区间0

$\mathbf{r}=[2\sin t,\sqrt{5} t, 2\cos t]$

可能的答案:

正确答案:

解释：

曲线的长度r由:

$L=\int_{t_1}^{t_2}|\mathbf{r'}(t)|dt$

解决:

$\mathbf{r}'(t)=(2\cos t, \sqrt{5}, 2 \sin t)$

$|\mathbf{r'}(t)|=\sqrt{4\cos^2t+5+4\sin^2t}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$

$L=\int^2_0 3 dt=3t|^2_0=6$

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例8:弧长和曲率

求曲线的弧长

c(t)=<3t,2sin(2t),2cos(2t)>

在间隔中

$0\leq t\leq 10$

可能的答案:

正确答案:

解释：

求曲线函数的弧长

c(t)

在间隔中 $a\leq t\leq b$

我们遵循公式

$\int_a^b \sqrt{(\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{dz} }{\mathrm{d} t})^2}\,dt$

对于这个问题中的曲线函数

$\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t}=3$

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t}=4cos(2t)$

$\frac{\mathrm{dz} }{\mathrm{d} t}=-4sin(2t)$

根据弧长公式求积分

$\int_0^{10} \sqrt{(3)^2+(4cos(2t))^2+(-4sin(2t))^2}\,dt$

$=\int_0^{10} \sqrt{9+16sin^2(2t)+16cos^2(2t)}\,dt$

$=\int_0^{10} \sqrt{9+16(sin^2(2t)+cos^2(2t))}\,dt$

$=\int_0^{10} \sqrt{9+16}\,dt$

$=\int_0^{10} \sqrt{25}\,dt$

$=\int_0^{10} 5\,dt$

$=5t|_0^{10}$

=5(10)-5(0)

因此弧长为

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问题9:弧长和曲率

求曲线函数的弧长

$c(t)=<3t,4t,\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}>$

在间隔中 $0\leq t\leq5$

四舍五入到最近的十分位。

可能的答案:

45.4

20.5

26.2

35.5

正确答案:

26.2

解释：

求曲线函数的弧长

c(t)

在间隔中 $a\leq t\leq b$

我们遵循公式

$\int_a^b \sqrt{(\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{dz} }{\mathrm{d} t})^2}\,dt$

对于这个问题中的曲线函数

$\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t}=3$

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t}=4$

$\frac{\mathrm{dz} }{\mathrm{d} t}=t^{\frac{1}{2}}$

根据弧长公式求积分

$\int_0^{5} \sqrt{(3)^2+(4)^2+(t^{\frac{1}{2}})^2}\,dt$

$=\int_0^{10} \sqrt{t+25}\,dt$

用u替换，我们有

u=t+25 而且 du=dt

积分就变成了

$=\int_{25}^{30} \sqrt{u}\,du$

$=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|_{25}^{30}$

$=\frac{2}{3}([30^{\frac{3}{2}}]-[25^{\frac{3}{2}}])$

因此弧长为 26.2

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例子问题10:弧长和曲率

已知曲线是由 $\vec{r}=<2\sin 2t,2\cos 2t,4t>$ ，求区间内的弧长 $0\leq t \leq \frac{\pi}{2}$

可能的答案:

$4\sqrt{2}\pi$

$\sqrt{2}\pi$

$2\sqrt{2}\pi$

$4\sqrt{\pi}$

正确答案:

$2\sqrt{2}\pi$

解释：

无标题的

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