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微积分2:固体体积

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例子问题

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例子问题1:截面体积和区域面积

通过围绕x轴以以下边界旋转该区域来确定固体的体积:

y=x^2-4x+5

y=0

x=1

x=4

可能的答案:

$18\pi$

$\frac{78\pi }{5}$

$\frac{36\pi }{7}$

$32\pi$

$\frac{46\pi }{3}$

正确答案:

$\frac{78\pi }{5}$

解释：

从微积分中，我们知道不规则固体的体积可以通过计算以下积分来确定:

$V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

其中A(x)是任意点x处固体截面积的方程。我们知道积分的边界是x=1和x=4，就像问题中给出的那样，所以现在我们所需要的就是找到固体面积的表达式A(x)。

根据给定的边界，我们知道未旋转区域的边界在底部为x轴(y=0)，在顶部为直线y=x^2-4x+5。因为我们绕x轴旋转，我们知道物体在任意点x处的半径就是y=x^2-4x+5的距离。现在我们有了一个函数，它描述了固体在任意点x处的半径，我们可以将该函数代入圆面积的公式中，从而得到固体在任意点处的截面积的表达式:

$A(x)=\pi r^2=\pi (x^2-4x+5)^2=\pi (x^4-8x^3+26x^2-40x+25)$

现在我们有了固体截面积的方程，我们可以从x=1到x=4积分，得到它的体积:

$V=\int_{1}^{4}\pi (x^4-8x^3+26x^2-40x+25)dx$

$=\pi [\frac{1}{5}x^5-2x^4+\frac{26}{3}x^3-20x^2+25x]_{1}^{4}=\frac{78\pi }{5}$

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例子问题2:截面体积和区域面积

假设函数 f(x) = 0 ， x=y^2 , x=4 形成一个封闭区域。沿x轴旋转这个区域。体积是多少?

可能的答案:

$\frac{32\pi}{5}$

$8\pi$

$\frac{128\pi}{13}$

$4\pi$

$\frac{64}{5}\pi$

正确答案:

$8\pi$

解释：

写出圆柱壳的公式，其中壳层半径和是壳层高度。

$V=\int_{a}^{b} 2\pi rh \:dy$

确定壳体半径。

r=y

确定壳体高度。这是通过减去右边的曲线， x=4 ，用左曲线表示， x=y^2 ．

h=4-x=4-y^2

找到交点 x=y^2 而且 x=4 来确定积分的y限。

4=y^2

2=y

边界从0到2。把所有已知的代入公式，求积分。

$V=\int_{a}^{b} 2\pi rh \:dy = \int_{0}^{2} 2\pi \cdot y\cdot \left ( 4-y^2)dy$

$V= 2\pi \int_{0}^{2} \left ( 4y-y^3\right ) dy$

$V=2\pi \left[ 2y^2 - \frac{1}{4}y^4\right]_{0}^{2} = 2\pi \left[2(2)^2 -\frac{1}{4}(2)^4\right] = 2\pi[8-4]= 8\pi$

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例子问题3:截面体积和区域面积

求由旋转所限区域所产生的固体体积 {}y = sin(x) 和-轴在第一象限设在。

可能的答案:

$\frac{1}{4}\pi$

$\frac{1}{2}\pi^2$

$\pi$

$\pi^2$

$\frac{1}{2}\pi$

正确答案:

$\frac{1}{2}\pi^2$

解释：

因为我们是围绕一条水平线旋转一个感兴趣的区域 {}y = 0 ，我们需要用x表示内半径和外半径。

回想一下公式:

$Volume = \pi \int_{b}^{a} [(\textup{outer radius})^{2} - (\textup{inner radius})^{2}]dx$

外半径是 y = sin(x) 内半径是 y = 0 ．区域的x极限在 x=0 而且 $x=\pi$ ．所以音量设置是:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} sin^{2}x$

利用三角恒等式，我们知道:

$sin^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos 2x$

因此:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} sin^2x dx =\pi \int_{0}^{\pi} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x\right) dx$

$= \pi \left[\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}sin2x\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\pi^2$

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例子问题1:截面体积和区域面积

在暴风雨中，一个男人把一杯水放在外面。杯子高度变化的速率等于 $\small 5t^{1/2}$ ．水的高度是多少 $\small t=9$ ？假设杯子是空的 ${}\small t=0$ ．

可能的答案:

$\small \frac{5}{6}$

$\small 15$

$\small 27$

$\small 90$

$\small 270$

正确答案:

$\small 90$

解释：

高度变化的速率是 $\small \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$ ，这意味着 $\small \small \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=5t^{1/2}$ ．

为了求9秒后的高度，我们需要积分得到 ${}\small h(t)$ ．

两边都乘以 $\small dt$ 得到 $\small dh=5t^{1/2}dt$ 然后对两边积分。

这给了我们

$\small h=\frac{10t^{3/2}}{3}+c$ ．

因为杯子是空的 $\small t=0, h(0)=0$ ,所以 $\small c=0$ ．

这意味着 $\small \small h(9)=10(9)^{3/2}/3=90$ ．这道题没有给出单位，所以答案没有单位是可以接受的。

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例子问题1:固体体积

近似第一象限中围绕y轴旋转并以函数为界的固体体积: y=9x 而且 y=x^3 ．将卷四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

写出洗衣机的方法。

$V=\int_{a}^{b}\pi[R(y)^2-r(y)^2]\:dy$

令方程相等以确定边界。

9x=x^3

9=x^2

x=3

边界是从0到3。

确定大小半径。把方程写成y的形式。

$R(y)= \sqrt[3]{y}$

$r(y)=\frac{y}{9}$

建立积分，求出体积。

$V=\int_{0}^{3}\pi[(\sqrt[3]{y})^2-(\frac{y}{9})^2]\:dy$

$V=\int_{0}^{3}\pi[y^{\frac{2}{3}}-\frac{y^2}{81}]\:dy=\pi[\frac{3}{5}y^\frac{5}{3}-\frac{y^3}{243}]_{0}^{3}=11.41353$

最接近整数的卷为:

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例子问题6:截面体积和区域面积

确定旋转曲线所产生的固体的体积 $y=\sqrt[3]{x}$ 这条线 x=1 通过围绕设在。

可能的答案:

$\frac{1}{5}\pi$

$\frac{2}{5}\pi$

$\frac{3}{5}\pi$

$\frac{12}{5}\pi$

$\frac{8}{5}\pi$

正确答案:

$\frac{3}{5}\pi$

解释：

写出圆柱壳的体积公式。

$V=\int_{a}^{b}2\pi (\textup{shell radius})(\textup{shell height}) dy$

壳层半径为．

壳层高度是关于．重写这个方程。

$y=\sqrt[3]{x}$

x=y^3

$\textup{shell height}: 1-y^3$

边界在y轴上，因为厚度变量是．这是从0到1，直线的交点 x=1 而且 $y=\sqrt[3]{x}$ 是在 (1,1) ．

把所有的值代入，求出体积。

$V=\int_{0}^{1}2\pi (y)(1-y^3) dy=\int_{0}^{1}2\pi (y-y^4)dy$

$V=2\pi \int_{0}^{1}(y-y^4)dy= 2\pi \left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^5}{5}\right]_{0}^{1}= 2\pi\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right]= \frac{3}{5}\pi$

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示例问题7:截面体积和区域面积

这条线形成的固体的体积是多少 $y=\sqrt{x}$ 是围绕设在从 x=4 来 x = 9 ？

可能的答案:

$\frac{211\pi}{5}$

$\frac{21\pi}{2}$

$36\pi$

正确答案:

$\frac{211\pi}{5}$

解释：

要绕y轴旋转曲线，首先要转换函数，通过求解使y成为自变量 $y=\sqrt{x}$ x，这就得到了函数 x=y^2 ．

我们还需要把区间的端点转换成y值。注意当 $x=4, \ y=2$ ，以及何时 x = 9, y = 3. 因此，被旋转的区间是从 $y=2\ to\ y=3$ ．

在这种情况下，圆盘法是最好的。圆盘法的一般公式是

$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx$ ， V为体积， $a\ and\ b$ 是区间的端点，和 f(x) 函数被旋转。

把问题中的函数和端点代入，就得到了积分

$V=\pi\int_{2}^{3}(y^2)^2dy=\pi\int_{2}^{3}y^4dy$ ．

要计算这个积分，你必须知道幂法则。回想一下幂法则是

$\int{y^ndy}=\frac{y^{n+1}}{n+1}+c$ ．

$\pi\int_{2}^{3}y^4dy=\pi[\frac{y^5}{5}]_{2}^{3}$

$=\pi\left[\frac{3^5}{5}-\frac{2^5}{5}\right]=\pi\left[\frac{243}{5}-\frac{32}{5}\right]$

$=\frac{211\pi}{5}$ ．

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例8:截面体积和区域面积

求函数生成的固体的体积

f(x)=x

在区间上绕x轴旋转 [0,8] ．

提示:采用圆柱形圆盘的方法。

可能的答案:

$V=215\pi$ 单位的立方

$V=\frac{625\pi}{3}$ 单位的立方

$V=\frac{512\pi}{3}$ 单位的立方

$V=\frac{400\pi}{3}$ 单位的立方

正确答案:

$V=\frac{512\pi}{3}$ 单位的立方

解释：

体积的公式为

$V=\pi \int_{a}^{b} r^2 \, dx$

在哪里 r=f(x) 积分的上界来自于积分区间 [a,b] ．

因此,

$V=\pi \int_{0}^{8} x^2 \, dx$

在求积分时，我们将使用幂逆法则，它表示

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$

应用这个规则，我们得到

$\pi \int_{0}^{8} x^2 \, dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}\right) \left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right|_{0}^{8}$

根据微积分第一基本定理的推论

$\pi \left(\frac{x^3}{3}\right) \left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right|_{0}^{8}=\pi \left(\left[\frac{8^3}{3}\right]-\left[\frac{0^3}{3}\right]\right)$

$=\frac{512\pi}{3}$

因此,

$V=\frac{512\pi}{3}$ 单位的立方

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例子问题1:固体体积

求在区间[0,3]上，在x处的截面为半径为2x的四分之一圆的固体的体积V。

可能的答案:

$V=\frac{9}{4}\pi$

$V=\frac{9}{2}\pi$

$V=9\pi$

$V=18\pi$

正确答案:

$V=9\pi$

解释：

为了确定具有一定截面积的固体的体积，可以用公式

$V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

在哪里 A(x) 截面面积是否在给定x处，体积是否在区间上 $a\leq x \leq b$ ．

因为截面积是半径为2x的圆的四分之一，我们发现

$A(x)=\frac{1}{4} \pi r^{2}=\frac{1}{4} \pi (2x)^{2}=\pi x^{2}$

然后用

$V=\int_{0}^{3}\pi x^{2}dx=\frac{1}{3}\pi x^{3}\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} \\ \end{matrix}^{3}_{0}=9\pi$

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例子问题2:固体体积

设R为图像之间的区域 $f(x)=(1-\cos^{2}x)^{1/4}$ 和区间上的x轴 $0\leq x \leq \pi$ ．求出由绕x轴旋转R得到的固体体积V。

可能的答案:

$V=\frac{\pi}{2}$

$V=4\pi$

V=0

$V=\pi$

$V=2\pi$

正确答案:

$V=2\pi$

解释：

绕x轴旋转的固体区域的体积，如本题中所示，可以通过将圆盘面积相加得到，使用公式:

$V=\int_{a}^{b} \pi [f(x)]^{2}dx$

其中f(x)是每个圆盘的半径。将方程应用于这个问题:

$V=\int_{0}^{\pi}\pi [(1-\cos ^{2}x)^{1/4}]^{2}dx=\int_{0}^{\pi}\pi (\sin ^{2}x)^{1/2}dx=\int_{0}^{\pi}\pi \sin (x) dx$

$V=-\pi\cos(x)\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right|^{\pi}_{0}=2\pi$

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