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微积分2:极坐标计算

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例子问题

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问题1:极地的计算

变换极坐标方程 $r^2\cos^2\theta+r\sin\theta = 17$ 化成它的矩形等价物，然后化简。

可能的答案:

x^2 + y^2 = 17

y = -x^2 +17

x = y^3 + 17

$y^2 + x^4 = \sqrt{17}$

没有其他答案

正确答案:

y = -x^2 +17

解释：

极坐标到矩形变换方程是 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ 。把这些代入已知方程，得到 x^2 + y = 17 。

添加 -x^2 两边都得到 y = -x^2 +17 。

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问题1:极地的计算

转换下列形式的极坐标 $\tiny (r,\theta )$ 变成笛卡尔坐标的形式 $\tiny (x,y)$ ：

$(-4,\frac{2\pi }{3})$

可能的答案:

$(-4,3\sqrt{2})$

$(-4,-2\sqrt{3})$

$(2,-2\sqrt{3})$

$(4,-3\sqrt{2})$

$(2\sqrt{3},-2)$

正确答案:

$(2,-2\sqrt{3})$

解释：

为了将给定的极坐标转换成笛卡尔坐标，我们必须记住用r和表示的x和y的公式 $\theta$ ：

$x=rcos\theta$

$y=rsin\theta$

题目告诉我们r和 $\theta$ ，所以我们要做的就是把这些坐标代入上面的公式:

$x=rcos\theta=-4cos(\frac{2\pi }{3})=2$

$y=rsin\theta=-4sin(\frac{2\pi }{3})=-4(\frac{\sqrt{3}}{2})=-2\sqrt{3}$

从变换中我们可以看到给定的极坐标被表示为 $(2,-2\sqrt{3})$ 在笛卡尔坐标系中。

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问题2:极地的计算

转换 $\left ( 2,\frac{\pi}{4}\right )$ 到笛卡尔坐标。

可能的答案:

$\left ( \frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2} \right )$

$\left ( 2\sqrt2,2\sqrt2\right )$

$\left ( \sqrt2,\sqrt2\right )$

$\left ( 2-\sqrt2,2-\sqrt2\right )$

$\left ( 2+\sqrt2,2+\sqrt2\right )$

正确答案:

$\left ( \sqrt2,\sqrt2\right )$

解释：

下面的公式将极坐标转换为笛卡尔坐标。

$x=rcos\theta$

$y=rsin\theta$

我们已知极坐标，在 $\left ( r,\theta\right )$ 的形式。把坐标代入公式，解出x和y。

$x=2cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\left ( \frac{\sqrt2}{2} \right )=\sqrt2$

$y=2sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\left ( \frac{\sqrt2}{2} \right )=\sqrt2$

笛卡尔坐标形式是 $\left ( \sqrt2, \sqrt2\right )$ 。

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问题4:极地的计算

已知笛卡尔坐标 $\left ( -1,1\right )$ ，是什么? $\theta$ 极坐标形式 $\left ( r,\theta\right )$ ？

可能的答案:

$\frac{7\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{4}$

正确答案:

$\frac{3\pi}{4}$

解释：

极坐标形式的公式是

$\theta= tan^-^1\left(\frac{y}{x}\right)$

把笛卡尔坐标代入方程。

$\theta= tan^-^1\left(\frac{1}{-1}\right) = tan^-^1(-1) =-\frac{\pi}{4}$

然而，这个角位于第四象限而不在右象限。添加 $\pi$ 弧度来得到正确的角度，因为给出的笛卡尔坐标位于第二象限。

$-\frac{\pi}{4}+\pi = \frac{3\pi}{4}$

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问题5:极地的计算

汤姆正在攀登数学的高峰。这座山的轮廓可以用 $\small \small \small -x^4+2x^3-x^2-x+3$ 之间的 $\small x=-1$ 和 $\small x\approx1.68$ 。汤姆从 $\small x=-1$ 到山顶。他爬了多远?对于问题的某些部分，你需要一个方程求解器。四舍五入到最接近的百分之一。

可能的答案:

$\small 3.15$

$\small 7.18$

$\small 3.33$

$\small 6.52$

$\small 1.86$

正确答案:

$\small 3.33$

解释：

这是一个两步问题。第一步就是把功能最大化，找到山的顶峰。下一步是用弧长公式求出他爬的距离。

为了求最大值，我们求导，令它等于0。

$\small \small \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-x^4+2x^3-x^2-x+3)=-4x^3+6x^2-2x-1$ 。

设这个等于0，我们得到 $\small \small x\approx-0.26$ 。

导数在这个值之前是正的，之后是负的，所以它是最大值。我们现在必须取弧长 $\small x=-1$ 来 $\small x\approx-0.26$ 。

弧长公式为

$\small \small \int_{x=a}^{x=b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$ 。

在这种情况下，积分变成

$\small \small \int_{-1}^{-.26}\sqrt{1+(-4x^3+6x^2-2x-1)^2}dx$ 。

这将给我们 $\small 3.33$ 。题中没有给出单位，所以不设单位是可以接受的。

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问题6:极地的计算

求极值函数的长度 $r=cos(\theta)$ 从 r=2 来 r=5 。

可能的答案:

-sin(5)+sin(2)

正确答案:

解释：

回想一下极坐标下的长度公式是

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta$ 。

我们得到了公式

$r=cos(\theta)$ 。

在我们的例子中，这翻译为

$\\L=\int_{2}^{5}\sqrt{cos^2(\theta )+((-sin(\theta ))^2}d \theta\\ \\= \int_{2}^{5}\sqrt{1}d \theta\\ \\=3$ 。

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问题7:极地的计算

转换 $(-1, \frac{\pi}{4})$ 到笛卡尔坐标。

可能的答案:

$( -\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$

$( -\sqrt2,-\sqrt2)$

$( \frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})$

$( \frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$

$( -\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})$

正确答案:

$( -\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$

解释：

写出从极坐标到笛卡尔坐标的转换公式。

$x=rcos(\theta)$

$y=rsin(\theta)$

的和 $\theta$ 值是已知的。分别代入方程，解出和。

$x=(-1)cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt2}{2}$

$y=(-1)sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt2}{2}$

笛卡尔坐标为: $( -\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$

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问题8:极地的计算

转换 $r=-4cos(\theta)$ 到笛卡尔坐标，找到圆心的坐标。

可能的答案:

(-4,0)

(-2,0)

$(-\frac{1}{2},0)$

$(-\frac{1}{8},0)$

$(-\frac{1}{4},0)$

正确答案:

(-2,0)

解释：

写出转换公式。

x^2+y^2=r^2

$x=rcos(\theta)$

注意到 r^2 术语。如果我们乘以在两边 $r=-4cos(\theta)$ 方程，我们得到:

$r^2=-4rcos(\theta)$

r^2=-4x

把这个代回第一个方程。

x^2+y^2=-4x

添加两边都是。

x^2+4x+y^2=0

用。完成正方形条款。

(x^2+4x+4)+y^2=4

这就变成了:

(x+2)^2+y^2 = 4

这是一个圆心为 (-2,0) 半径是4。

答案是: (-2,0)

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问题9:极地的计算

转换 $\Big (3, \frac{\pi}{6} \Big)$ 到笛卡尔坐标。

可能的答案:

$\Bigg(\frac{3\sqrt2}{2}, \frac{3\sqrt2}{2}\Bigg)$

$\big(\sqrt3, 3 \big)$

$\Bigg( \frac{\sqrt3}{2}, \frac{1}{2} \Bigg)$

$\Bigg (\frac{3 \sqrt3}{2} , \frac{3}{2} \Bigg)$

正确答案:

$\Bigg (\frac{3 \sqrt3}{2} , \frac{3}{2} \Bigg)$

解释：

当从极坐标转换到笛卡尔坐标时，我们必须使用公式

$x = r\cos \theta \; ;\; y=r\sin \theta$

的值 r = 3 和 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 都是已知的，我们可以算出来吗

$x = 3\cdot \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt3}{2}$

和 $y = 3\cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{2}$

所以笛卡尔坐标形式是

$\Bigg( \frac{3\sqrt3}{2} , \frac{3}{2} \Bigg)$

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问题10:极地的计算

在极坐标下求方程 y=2x

可能的答案:

$\theta=tan^{-1}(2)$

$\theta=2$

$\theta=tan^{-1}(\frac{1}{2})$

$\theta=tan(2)$

正确答案:

$\theta=tan^{-1}(2)$

解释：

y=2x 可以立即转化为极坐标形式:

$rsin(\theta)=2rcos(\theta)$ 。

除以，

$sin(\theta)=2cos(\theta)$

两边同时除以 $cos(\theta)$

$tan(\theta)=2$

$\theta=tan^{-1}(2)$

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