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微积分2:极坐标形式的导数

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例子问题

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问题1:极坐标形式导数

对于极坐标方程 $r = cos(\theta) + sin(\theta),$ $0<\theta<2\pi$ ,找 $\frac{dy}{dx}$ 当 $\theta = \pi/3$ 。

可能的答案:

没有其他答案。

$1+\sqrt3$

$\sqrt2/2$

$\sqrt3-2$

正确答案:

$\sqrt3-2$

解释：

当
$\theta = \pi/3, r = cos(\pi/3)+sin (\pi/3) = \frac{1+\sqrt3}{2}$ 。

对给定方程求导 $\theta$ ，我们得到

$\frac{dr}{d\theta} = -sin(\theta)+cos(\theta)$

找到 $\frac{dy}{dx}$ ，我们使用

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\frac{dr}{d\theta}sin(\theta)+rcos(\theta)}{\frac{dr}{d\theta}cos(\theta)-rsin(\theta)}.$

代入的值 $r, \theta$ 对这个方程进行代数化简，我们得到了 $\sqrt{3}-2$ 。

报告错误

问题1:参数函数、极坐标函数和向量函数的导数

求极坐标方程的导数:

$r=3+8sin\theta$

可能的答案:

$\frac{8cos\theta sin\theta+3sin\theta }{4sin^2\theta-3sin\theta-8cos^2\theta}$

$\frac{16sin^2\theta+3cos\theta }{8cos^2\theta-3cos\theta-8sin^2\theta}$

$\frac{8cos\theta sin\theta-6cos\theta }{4cos^2\theta+6sin\theta+3sin^2\theta}$

$\frac{16cos\theta sin\theta+3cos\theta }{8cos^2\theta-3sin\theta-8sin^2\theta}$

$\frac{8cos\theta sin^2\theta+3cos^2\theta }{4cos^2\theta+3sin\theta-6sin^2\theta}$

正确答案:

$\frac{16cos\theta sin\theta+3cos\theta }{8cos^2\theta-3sin\theta-8sin^2\theta}$

解释：

求极坐标方程dy/dx的导数的第一步是求r对 $\theta$ 。这给了我们:

$\frac{dr}{d\theta}=8cos\theta$

现在我们知道了dr/d $\theta$ ，我们可以把这个值代入极坐标形式表达式的导数方程:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}sin\theta+rcos\theta }{\frac{dr}{d\theta }cos\theta-rsin\theta }=\frac{8cos\theta sin\theta+(3+8sin\theta )cos\theta}{8cos^2\theta-(3+8sin\theta)sin\theta }$

将方程化简，我们就得到了r的导数的最终结果

$\frac{dy}{dx}=\frac{16cos\theta sin\theta +3cos\theta }{8cos^2\theta -3sin\theta -8sin^2\theta }$

报告错误

问题3:极坐标形式导数

计算给定极坐标曲线的面积: $r=\frac{\theta}{2}$ 从 $[0,2\pi]$ 。

可能的答案:

$\frac{\pi^3}{3}$

$\pi$

$\frac{\pi^3}{6}$

$\frac{\pi^3}{4}$

$8\pi$

正确答案:

$\frac{\pi^3}{3}$

解释：

写出公式来求两个极坐标方程之间的面积。

$A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[(\textup{Outer Radius}^2)-(\textup{Inner Radius})^2]\: d\theta$

外半径是 $r=\frac{\theta}{2}$ 。

内半径是 r=0 。

代入已知的，求积分。

$A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{\theta}{2}\right)^2\: d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{\theta^2}{4}\: d\theta=\frac{1}{8}\left[\frac{\theta^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}$

$\frac{1}{8}\left[\frac{\theta^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}= \frac{1}{8}\left[\frac{(2\pi)^3}{3}\right] = \frac{\pi^3}{3}$

报告错误

问题1:极坐标形式导数

求导数 $\frac{dy}{dx}$ 极坐标函数 $r(\theta)=3-4sin(\theta)$ 。

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos^2(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=4cos(\theta)$

$\frac{dy}{dx}=-4cos(\theta)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)cos(\theta)+(3-4sin(\theta))sin(\theta)}{-4cos(\theta)sin(\theta)-(3-4sin(\theta))cos(\theta)}$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos^2(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

解释：

极坐标函数的导数是用这个公式求出来的

$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)sin(\theta)+r(\theta)cos(\theta)}{r'(\theta)cos(\theta)-r(\theta)sin(\theta)}$

唯一未知的部分是 $r'(\theta)$ 。回想一下常数的导数是零

$\frac{d}{d\theta}sin(\theta)=cos(\theta)$ ,所以

$r'(\theta)=-4cos(\theta)$

Substiting $r'(\theta)\ and\ r(\theta)$ 把它带入导数公式，我们发现

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos(\theta)cos(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos^2(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

报告错误

问题1:参数函数、极坐标函数和向量函数的导数

求极坐标函数的一阶导数

$r(\theta)=sin(3\theta)$ 。

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3sin(3\theta)cos(\theta)+cos(3\theta)sin(\theta)}{3sin(3\theta)sin(\theta)-cos(3\theta)cos(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=3cos(3\theta)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{sin(3\theta)sin(\theta)+3cos(3\theta)cos(\theta)}{sin(3\theta)cos(\theta)-3cos(3\theta)sin(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3cos(3\theta)sin(\theta)+sin(3\theta)cos(\theta)}{3cos(3\theta)cos(\theta)-sin(3\theta)sin(\theta)}$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3cos(3\theta)sin(\theta)+sin(3\theta)cos(\theta)}{3cos(3\theta)cos(\theta)-sin(3\theta)sin(\theta)}$

解释：

一般来说，函数在极坐标下的导数可以写成

$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)sin(\theta)+r(\theta)cos(\theta)}{r'(\theta)cos(\theta)-r(\theta)sin(\theta)}$ 。

因此，我们需要找到 $r'(\theta)$ ，然后代入 $r(\theta)\ and\ r'(\theta)$ 化成导数公式。

找到 $r'(\theta)$ 链式法则，

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$ ，是必要的。

我们还需要知道这个

$\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$ 。

因此,

$r'(\theta)=3cos(3\theta)$ 。

替换 $r(\theta)\ and\ r'(\theta)$ 代入导数公式

$\frac{dy}{dx}=\frac{3cos(3\theta)sin(\theta)+sin(3\theta)cos(\theta)}{3cos(3\theta)cos(\theta)-sin(3\theta)sin(\theta)}$

报告错误

问题2:极坐标形式导数

求以下函数的导数:

$r=2\cos(\theta)-1$

可能的答案:

$\frac{-2sin^2(\theta)+2\cos^2(\theta)-\cos(\theta)}{4\cos(\theta)\sin(\theta)-\sin(\theta)}$

$\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)$

$\frac{-2sin^2(\theta)+2\cos^2(\theta)-\cos(\theta)}{-4\cos(\theta)\sin(\theta)+\sin(\theta)}$

正确答案:

$\frac{-2sin^2(\theta)+2\cos^2(\theta)-\cos(\theta)}{-4\cos(\theta)\sin(\theta)+\sin(\theta)}$

解释：

极坐标函数导数的公式是

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}=\frac{\frac{\mathrm{dr} }{\mathrm{d} \theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta)}{\frac{\mathrm{dr} }{\mathrm{d} \theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta)}$

首先，我们必须求出函数的导数:

$\frac{\mathrm{dr} }{\mathrm{d} \theta}=-2\sin(\theta)$

现在，我们把导数和原函数代入到上面的公式中，得到

$\frac{-2sin^2(\theta)+2\cos^2(\theta)-\cos(\theta)}{-4\cos(\theta)\sin(\theta)+\sin(\theta)}$

报告错误

问题7:极坐标形式导数

求以下函数的导数:

$r=\theta^2+1$

可能的答案:

$2\theta$

$\frac{2\theta\sin(\theta)+(\theta^2+1)(\cos(\theta))}{2\theta\cos(\theta)-(\theta^2+1)(\sin(\theta))}$

$\frac{2\theta\sin(\theta)+(\theta^2+1)(\cos(\theta))}{2\theta\cos(\theta)+(\theta^2+1)(\sin(\theta))}$

$\frac{2\theta\sin(\theta)-(\theta^2+1)(\cos(\theta))}{2\theta\cos(\theta)+(\theta^2+1)(\sin(\theta))}$

正确答案:

$\frac{2\theta\sin(\theta)+(\theta^2+1)(\cos(\theta))}{2\theta\cos(\theta)-(\theta^2+1)(\sin(\theta))}$

解释：

极坐标函数的导数由下式给出:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta)}{\frac{dr}{d\theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta)}$

首先，我们必须找到 $\frac{dr}{d\theta}=2\theta$

导数是用下面的规则求出来的:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

最后，把刚求出的导数和已知函数r代入到上面的公式中:

$\frac{2\theta\sin(\theta)+(\theta^2+1)(\cos(\theta))}{2\theta\cos(\theta)-(\theta^2+1)(\sin(\theta))}$

报告错误

问题8:极坐标形式导数

求以下函数的导数:

$r=\cos^2(\theta)$

可能的答案:

$-2\cos(\theta)\sin(\theta)$

$\frac{-2\cos(\theta)\sin^2(\theta)+\cos^3(\theta)}{-2\cos^2(\theta)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos^2(\theta)}$

$\frac{-2\cos(\theta)\sin(\theta)+\cos^3(\theta)}{-2\cos^2(\theta)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos^2(\theta)}$

$\frac{-2\cos(\theta)\sin^2(\theta)-\cos^3(\theta)}{-2\cos^2(\theta)\sin(\theta)+\sin(\theta)\cos^2(\theta)}$

正确答案:

$\frac{-2\cos(\theta)\sin^2(\theta)+\cos^3(\theta)}{-2\cos^2(\theta)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos^2(\theta)}$

解释：

极坐标函数的导数由下式给出:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta)}{\frac{dr}{d\theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta)}$

首先，我们必须找到 $\frac{dr}{d\theta}=-2\cos(\theta)\sin(\theta)$

使用以下规则找到导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$

最后，将上述导数和原函数代入公式:

$\frac{-2\cos(\theta)\sin^2(\theta)+\cos^3(\theta)}{-2\cos^2(\theta)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos^2(\theta)}$

报告错误

问题9:极坐标形式导数

求以下函数的导数:

$r=3\theta+e^\theta$

可能的答案:

$3+e^\theta$

$\frac{(3+e^\theta)\sin(\theta)+(3\theta+e^\theta)\cos(\theta)}{(3+e^\theta)\cos(\theta)-(3\theta+e^\theta)\sin(\theta)}$

$\frac{(3+e^\theta)\sin(\theta)+(3\theta+e^\theta)\cos(\theta)}{(3+e^\theta)\cos(\theta)+(3\theta+e^\theta)\sin(\theta)}$

$\frac{(3+e^\theta)\sin(\theta)-(3\theta+e^\theta)\cos(\theta)}{(3+e^\theta)\cos(\theta)+(3\theta+e^\theta)\sin(\theta)}$

正确答案:

$\frac{(3+e^\theta)\sin(\theta)+(3\theta+e^\theta)\cos(\theta)}{(3+e^\theta)\cos(\theta)-(3\theta+e^\theta)\sin(\theta)}$

解释：

极坐标函数的导数由下式给出:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta)}{\frac{dr}{d\theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta)}$

首先，我们必须找到 $\frac{dr}{d\theta}=3+e^\theta$

我们使用以下规则求导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}e^u=e^u\frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^n=nx^{n-1}$

最后，将上述导数和原函数代入上述公式:

$\frac{(3+e^\theta)\sin(\theta)+(3\theta+e^\theta)\cos(\theta)}{(3+e^\theta)\cos(\theta)-(3\theta+e^\theta)\sin(\theta)}$

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问题1:极坐标形式导数

求函数的导数:

$r=5\cos(2\theta)$

可能的答案:

$\frac{-10\sin(2\theta)\sin(\theta)+5\cos(2\theta)\cos(\theta)}{-10\sin(2\theta)\cos(\theta)-5\cos(2\theta)\sin(\theta)}$

$\frac{-10\sin(2\theta)\sin(\theta)+5\cos(2\theta)\cos(\theta)}{-10\sin(2\theta)\cos(\theta)+5\cos(2\theta)\sin(\theta)}$

$\frac{-10\sin^2(2\theta)+5\cos(2\theta)^2}{-10\sin(2\theta)\cos(\theta)-5\cos(2\theta)\sin(\theta)}$

$\frac{-10\sin(2\theta)\sin(\theta)-5\cos(2\theta)\cos(\theta)}{-10\sin(2\theta)\cos(\theta)+5\cos(2\theta)\sin(\theta)}$

正确答案:

$\frac{-10\sin(2\theta)\sin(\theta)+5\cos(2\theta)\cos(\theta)}{-10\sin(2\theta)\cos(\theta)-5\cos(2\theta)\sin(\theta)}$

解释：

极坐标函数的导数由

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta)}{\frac{dr}{d\theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta)}$

首先，我们必须求出函数r的导数:

$\frac{dr}{d\theta}=-10\sin(2\theta)$

这是使用以下规则发现的:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$

现在，利用我们刚刚求出的导数和上面公式中的原始函数，我们可以写出这个函数关于x和y的导数

$\frac{-10\sin(2\theta)\sin(\theta)+5\cos(2\theta)\cos(\theta)}{-10\sin(2\theta)\cos(\theta)-5\cos(2\theta)\sin(\theta)}$

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