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微积分2:函数的平均值和长度

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例子问题

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例子问题1:函数的平均值和长度

弧长是多少 x=4cos(t) ， y=4sin(t) 从 $[0,2\pi]$ ?

可能的答案:

$16\pi$

$4\pi$

$8\pi$

$10\pi$

$2\pi$

正确答案:

$8\pi$

解释：

写出弧长公式。

$s=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$

计算导数。

$\frac{dx}{dt}=-4sin(t)$

$\frac{dy}{dt}=4cos(t)$

把导数和积分限代入积分。

$s=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(-4sin(t))^2+(4cos(t))^2}=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{16sin^2(t)+16cos^2(t)}$

$s=\int_{0}^{2\pi} 4 dt= 4[t]_{0}^{2\pi} = 8\pi$

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例子问题1:函数的平均值和长度

这个函数的平均值是多少

$p(t)=\frac{4t}{t^2+1}$

从 t = 0 来 t = 2 ?

可能的答案:

$\frac{4}{5}$

e^2-1

ln(2)-1

ln(5)

正确答案:

ln(5)

解释：

函数p(t)从t=a到t=b的平均值可以用积分来求

$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}p(t)dt$ ．

在这种情况下，我们必须计算积分的值

$\frac{1}{2-0}\int_{0}^{2}\frac{4t}{t^2+1}dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{4t}{t^2+1}dt$ ．

代换可以使这个积分更清晰。让 u=t^2+1 ．然后 du=2tdt ．我们也应该用u来重写积分的极限，当t = 0, u=1，当t = 2, u= 5。做这些替换会得到积分

$\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{2du}{u}=\frac{2}{2}\int_{1}^{5}\frac{du}{u}=\int_{1}^{5}\frac{du}{u}$

对这个积分求值

$\int \frac{du}{u}=ln(u)+c$ 收益率

$\int_{1}^{5}\frac{du}{u}=ln(5)-ln(1)=ln(5)$

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例子问题1:函数的平均值和长度

这个函数的平均值是多少 $f(\theta)=2cos(\theta)$ 在时间间隔内 $0\le\theta\le\4\pi$ ?

可能的答案:

$\sqrt3$

$\frac{\sqrt2}{2}$

正确答案:

解释：

一般来说，一个函数的平均值 f(x) 在时间间隔内 [a, b] 是

$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$

这意味着的平均值 $f(\theta)$ 在 $0\le\theta\le4\pi$ 是

$\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{4\pi}2cos(\theta)d\theta$ ．

因为不定积分 $cos(\theta)$ 是 $\int cos(\theta)d\theta=sin(\theta)+c$ ，积分的值为

$\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{4\pi}2cos(\theta)d\theta=\frac{2}{4\pi}sin(\theta)|_{0}^{4\pi}$

$=\frac{1}{2\pi}(sin(4\pi)-sin(0))=0$ ．

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问题4:函数的平均值和长度

曲线的长度是多少 $g(x)=x^{\frac{3}{2}}$ 在时间间隔内 $0\le x\le4$ ?

可能的答案:

$4\sqrt2-1$

$\frac{4\pi}{3}$

$\frac{56}{27}$

$\frac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$

正确答案:

$\frac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$

解释：

求曲线长度的一般公式 f(x) 在一段时间内 [a,b] 是 $\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx$

在这个例子中，弧长可以通过计算积分得到

$\int_{0}^{4}\sqrt{1+(\frac{d}{dx}x^{\frac{3}{2}})^2}\ dx$ ．

的导数 $x^{\frac{3}{2}}$ 可以用幂法则， $\frac{d}{dx} x^n=nx^{n-1}$ ，这就导致

$\int_{0}^{4}\sqrt{1+\left(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\right)^2}\ dx=\int_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\ dx$ ．

在这一点上，代换是有用的。

让

$u=1+\frac{9}{4}x,\ du=\frac{9}{4}dx,\frac{4}{9}du=dx$ ．

我们也可以表示积分的极限为了简化计算。当 x=0, u=1 ，以及何时 x = 4, u=10 ．

做这些替换会导致

$\int_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\ dx=\int_{1}^{10}\frac{4}{9}\sqrt{u}du=\frac{4}{9}\int_{1}^{10}u^{\frac{1}{2}}du$ ．

现在用幂法则，一般来说 $\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ ，求积分值。

$\frac{4}{9}\int_{1}^{10}u^{\frac{1}{2}}du=\frac{4}{9}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_{1}^{10}$

$=\frac{8}{27}(10^{\frac{3}{2}}-1^\frac{3}{2})=\frac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$

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例5:函数的平均值和长度

给定区间，求以下函数的平均值:

f(x)=(2x+3)^2; [-1,2]

可能的答案:

正确答案:

解释：

当f在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的平均值定义为:

$f(x)_{average}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$

对于问题陈述，我们已知f(x)和区间[a,b]。所需要做的就是在这个区间内解积分然后用结果除以两个区间的差。

所以:

$f(x)_{average}=\frac{1}{(2)-(-1)}\int_{-1}^{2}(2x+3)^2dx=\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}(2x+3)^2dx$

要解这个积分，我们有两个选择。我们可以箔这些条款 (2x+3)^2 然后求出结果多项式的积分，或者我们可以用一个简单的u替换。不管怎样，结果都是一样的。我们将尝试两种方法，以证明这是正确的:

箔方法:

$\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}(2x+3)^2dx=\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}(4x^2+12x+9)dx$

$\frac{1}{3}[\frac{4}{3}x^3+6x^2+9x]_{-1}^{2}$

$\frac{1}{3}([\frac{4}{3}(2)^3+6(2)^2+9(2)]-[\frac{4}{3}(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)])$

$\frac{1}{3}([\frac{32}{3}+24+18]-[-\frac{4}{3}+6-9])$

$\frac{1}{3}(57)=19$

这是其中一个答案选项!

U-Substition方法:

$\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}(2x+3)^2dx\rightarrow u=2x+3, du=2dx\rightarrow \frac{1}{2}du=dx$

接下来，我们必须调整新积分的边界，它将是u．

u(-1)=2(-1)+3=1

u(2)=2(2)+3=7

所以新的积分就变成:

$\frac{1}{3}\int_{1}^{7}\frac{1}{2}u^2du=\frac{1}{6}\int_{1}^{7}u^2du$

$\frac{1}{6}[\frac{1}{3}u^3]_{1}^{7}=\frac{1}{18}[(7)^3-(1)^3]=19$

正如你所看到的，这两种方法的结果都是一样的!

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例子问题6:函数的平均值和长度

的平均值是多少 $y = e^{3x}$ 在时间间隔之间 x = 0 而且 x = 2 ?

可能的答案:

$\frac{e^6 - 1}{3}$

$\frac{e^6 - 1}{6}$

$\frac{e^6 + 1}{3}$

$\frac{e^6}{3}$

$\frac{e^6 + 1}{6}$

正确答案:

$\frac{e^6 - 1}{6}$

解释：

当要求形式区间之间的平均值时 x = a 而且 x = b 积分就变成了

$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)$ 在这种情况下，我们可以把平均值问题重写为

$\frac{1}{2-0}\int_{0}^{2}e^{3x}$ ．

积分来了 $\frac{1}{3}e^{3x}$ 评估在 x = 2 而且 x = 0 化简为

$\frac{e^6 - 1}{3}$ (注意, e^0 1)。

然而，由于我们正在寻找平均值，我们必须把整个式子除以b-a，在这个例子中是2，所以最终的答案是

$\frac{e^6 - 1}{6}$ ．

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示例问题7:函数的平均值和长度

这个函数的平均值是多少 x^2 在间隔中 [0,2] ?

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

$\frac{8}{3}$

$\frac{8}{9}$

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

函数在区间上的平均值定义为该函数除以区间长度的积分。

这种类型的集成的一般规则如下。

$\frac{1}{b-a}\int_a^b x^n dx=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]\left |_a^b$

所以我们得到:

$\frac{1}{2-0}\int_0^2 x^2dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

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例8:函数的平均值和长度

这个函数的平均值是多少

f(x)=x^3-1

在间隔中， [0,4] ?

可能的答案:

$\frac{31}{2}$

正确答案:

解释：

函数的平均值是通过对函数在区间上积分并除以区间的长度来求得的。

这种类型的集成的一般规则如下。

$\frac{1}{b-a}\int_a^b x^n dx=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]\left |_a^b$

所以我们有:

$\frac{1}{4-0}\int_{0}^4 (x^3-1)dx=\frac{1}{4}(x^4/4-x)|_{0}^4=\frac{1}{4}(4^4/4-4)$

$=\frac{1}{4}(64-4)=\frac{60}{4}=15$

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问题9:函数的平均值和长度

这个函数的平均值是多少 $f(x)=\sin x$ 在间隔中 $[0,\pi/2]$ ?

可能的答案:

$\sqrt{2}/2$

$\frac{1}{\pi}$

$\frac{2}{\pi}$

正确答案:

$\frac{2}{\pi}$

解释：

函数的平均值是通过对函数在区间上积分并除以区间的长度来求得的。

这种类型的集成的一般规则如下。

$\frac{1}{b-a}\int_a^b \sin x dx=\frac{1}{b-a}\left[-\cos x\right]\left |_a^b$

所以我们有:

$\frac{1}{\pi/2-0}\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx=\frac{2}{\pi}(-\cos x)|_{0}^{\pi/2}=\frac{2}{\pi}$

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例子问题10:函数的平均值和长度

这个函数的平均值是多少 $f(x)=e^{3x}$ 在间隔中 [0,1] ?

可能的答案:

$\frac{1}{3}e^{3/2}$

$\frac{1}{3}(e^3-1)$

e^3-1

$\frac{1}{3}e^3$

正确答案:

$\frac{1}{3}(e^3-1)$

解释：

函数的平均值是通过对函数在区间上积分并除以区间的长度来求得的。

这种类型的集成的一般规则如下。

$\frac{1}{b-a}\int_a^b e^u dx=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{\frac{du}{dx}}e^u\right]\left |_a^b$

所以我们有:

$\frac{1}{1-0}\int_{0}^1 e^{3x} dx=\left(\frac{1}{3}e^{3x}\right)|_{0}^1=\frac{1}{3}(e^{3}-1)$

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