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微积分2:曲线下面积

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例子问题

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问题1:曲线下面积

求曲线下的面积 f(x) = e^x 从 x = -2 来 x = 2 ．

可能的答案:

$1-2e^{-2}$

2e^2

$e^2 + 2e^{-2}$

$e^2 - e^{-2}$

2e^2 - 1

正确答案:

$e^2 - e^{-2}$

解释：

曲线f(x)下两个x值之间的面积 $x_{1},x_2$ 对应于积分

$\int_{x_1}^{x_2} f(x)dx$ ．

在这种情况下， f(x) = e^x, x_1 = -2, x_2 = 2 ，根据微积分基本定理，我们可以发现……

$\int_{-2}^{2} e^xdx$

= [e^x] 评估从来

$= e^2 - e^{-2}$

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问题2:曲线下面积

求两者之间的面积 f(x) 和 g(x) ，这样 $f(x) = \sqrt{x}$ 和 g(x) = x^3

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{7}{12}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{5}{12}$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

$\frac{5}{12}$

解释：

求两条曲线之间面积的第一步是使它们相等，并求出它们的交点。

$\\f(x) = g(x)\\ \sqrt{x} = x^3\\ x = x^6\\ x = 0, x = 1$

下一步是找出区间内哪条曲线“在顶部”，哪条曲线“在底部” (0,1) ．我们发现 f(x) 在顶部和 g(x) 在底部。

现在，为了求出两条曲线之间的面积，我们从来上面的曲线减去下面的曲线。

$\\\int_{0}^{1}(f(x) - g(x))dx\\ \int_{0}^{1}(\sqrt{x} - x^3)dx\\ \left [ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{4}x^4 \right ]$ 评估从来

$\\= \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}\right) - (0 - 0)\\ = \frac{5}{12}$

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问题1:曲线下面积

求曲线下的总面积 $f(x)=2xe^{x^2}$ 从 $x = 0\ to\ x = 5.$

可能的答案:

$e^{25}-1$

$e^{25}$

$10e^{25}$

$\frac{25e^{25}}{2}$

正确答案:

$e^{25}-1$

解释：

f(x)在区间[0,5]上的定积分就是曲线下的面积。

$\int_{0}^{5}2xe^{x^2}dx$

代换使这个积分更容易求值。让 $u=e^{x^2}$ ．然后 $du=2xe^{x^2}dx$ ．我们也可以改变积分的极限用u表示，当x=5时， $u=e^{25}$ ．当x = 0时, $u=e^{0}=1$ ．做这些替换，积分变成

$\int_{1}^{e^{25}}du=u \left |_{1}^{25}=e^{25}-1$

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问题4:曲线下面积

曲线下的面积是多少 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ 在区间内 $1\le x\le 2$ ？

可能的答案:

$\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{2}\right)$

e^2-1

$\frac{21}{5}$

$\frac{ln5}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{2}\right)$

解释：

曲线下的面积 f(x) 在区间内 [a, b] 是 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ．

在这个例子中，这导致了定积分

$\int_{1}^{2}\frac{x}{x^2+1}dx$ ．

换元使这个函数的不定积分更明显。

让

$u=x^2+1,\ du=2xdx, \frac{du}{2}=xdx.$ ．

我们也可以把积分的极限转换成简化评估。当 $x=1,\ u=2$ ，当 $x=2, \ u=5$ ．

做这些替换的结果是

$\int_{2}^{5}\frac{\frac{du}{2}}{u}=\frac{1}{2}\int_{2}^{5}\frac{du}{u}$ ．

回想一下 $\int\frac{dx}{x}=ln(x)+c$ ，所以求积分的结果是

$\frac{1}{2}\int_{2}^{5}\frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln(u)|_{2}^{5}=\frac{1}{2}(ln(5)-ln(2))$

$=\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{2}\right)$

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问题5:曲线下面积

求以下不定积分:

$\int \frac{1}{x^2+x-6} \ dx$

可能的答案:

$\frac{1}{5}}\ln|x-2|-\frac{1}{5}\ln|x+3|$

$-\frac{1}{5}}\ln|x-2|+\frac{1}{5}\ln|x+3| + C$

$\ln|x^2+x-6|$

$\frac{1}{5}}\ln|x-2|-\frac{1}{5}\ln|x+3| + C$

$\ln|x^2+x-6|+C$

正确答案:

$\frac{1}{5}}\ln|x-2|-\frac{1}{5}\ln|x+3| + C$

解释：

为了求不定积分，我们先把分母因式分解。

$\int \frac{1}{x^2+x-6} \ dx$

$= \int \frac{1}{(x+3)(x-2)} \ dx$

现在我们用部分分式分解把它化成我们知道如何求不定积分的形式。

$\int \frac{A}{(x+3)} +\frac{B}{(x-2)} \ dx$

现在我们需要求出A和b的值，首先写出方程。

1=A(x-2)+B(x+3)

1=Ax-2A+Bx+3B

1=x(A+B)+(3B-2A)

现在我们可以得到方程组来求出A和B。

$\\ 1: A+B=0 \\ 2: 3B-2A=1$

由方程1，我们得到

A=-B

现在我们可以把它代入方程2。

3B-2(-B)=1

$5B=1 \rightarrow B=\frac{1}{5}$

现在我们把B代回方程1。

$A=-\frac{1}{5}$

现在我们可以把A和B的值代入问题中。

$\int \frac{-\frac{1}{5}}{(x+3)} +\frac{\frac{1}{5}}{(x-2)} \ dx$

现在我们可以简单地求不定积分。

$\int \frac{-\frac{1}{5}}{(x+3)} +\frac{\frac{1}{5}}{(x-2)} \ dx$

$=\frac{1}{5}}\ln|x-2|-\frac{1}{5}\ln|x+3| + C$

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问题6:曲线下面积

评估:

$\int_{0}^{1} t \ dt$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

为了求积分，我们使用幂逆定律。

记住幂反比定律是

$\int x^a =\frac{1}{a+1}x^{a+1}$ ．

我们把这个应用到我们的问题中。

$\int_{0}^{1} t \ dt$

$= \frac{1}{2}t^2\left |_{0}^{1}$

从这里，我们代入边界，从上界函数值中减去下界函数值。

$= \frac{1}{2}(1)^2-\frac{1}{2}(0)^2$

$= \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$

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问题7:曲线下面积

求出函数曲线下的面积 y = x^2 - 2x 之间的 x = 2 和 x = 4 ．

可能的答案:

$\frac{25}{3}$

$\frac{64}{3}$

$\frac{20}{3}$

$\frac{32}{3}$

正确答案:

$\frac{20}{3}$

解释：

要求曲线下的面积意味着你要对给定的函数做积分。积分限是已知的。积分是这样的: $\int_{2}^{4} x^{2} - 2x dx$ ．

当积分时，你得到

$\frac{x^3}{3} - x^2$ 评估在 x = 4 和 x = 2 ．

在 x = 4 表达式的计算结果为 $\frac{64}{3} - 16$ 而在 x = 2 它的值为 $\frac{8}{3} - 4$ ．

这两项相减得到最后的答案是 $\frac{20}{3}$ ．

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问题8:曲线下面积

求曲线下的面积

$\int_{1}^{e}\frac{2ln(x)}{x}$ ．

可能的答案:

e^2+1

e^2

正确答案:

解释：

对于这个特殊的函数，我们需要进行“u替换”。

在我们的例子中

$\\u=ln(x) \\$ 这将使 $du=\frac{1}{x}$ ．

现在我们把这些代入积分得到下面的式子。

$\int_{1}^{e}\frac{2ln(x)}{x}=\int_{1}^{e} 2U du$ 如果 U=ln(x)

然后我们用幂次法则进行积分，

$x^n\rightarrow nx^{n-1}$

$\int_{1}^{e}2Udu= U^2$

现在把原来的变量代回去，然后减去函数在边界处的值。

= ln^2(e)-ln^2(1)=1-0=1

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问题9:曲线下面积

求下列函数曲线下的面积 x=0 来 $x=\pi$ ：

$f(x)=\cos^2(x)\sin(x)$

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}$

$-\frac{1}{3}$

正确答案:

$\frac{2}{3}$

解释：

为了求出曲线下的面积，我们必须在给定的边界上积分:

$\int_{0}^{\pi}\cos^2(x)\sin(x)dx$

要积分，我们必须做以下替换:

$u=\cos(x), du=-\sin(x)dx$

导数是用下面的规则求出来的:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$

现在，重写积分，把积分限换成u的形式

$\int_{-1}^{1}u^2du$

注意，在重写的过程中，上界变成了-1下界变成了1，但是从u的导数中得到的负号让我们可以像上面看到的那样得到上界。

现在做定积分:

$\int_{-1}^{1}u^2du=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$

这个积分是用下面的规则求出来的:

$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

定积分通过将上界代入得到的函数，将下界代入得到的函数，然后将两者相减，如上所示。

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问题10:曲线下面积

求函数曲线下的面积

$f(x)=\sqrt{x}$

在间隔上 [0,9]

可能的答案:

方单位

正确答案:

方单位

解释：

求出函数曲线下的面积 f(x) 在间隔上 [a,b] ，我们求出定积分

$\int_{a}^{b}|f(x)|\, dx$

因为这个问题中的函数在区间上总是正的，或者

f(x)>0 在间隔上 [0,9] 曲线下的面积可以用定积分求出来

$\int_{0}^{9}\sqrt{x}\,dx$

重写函数的定积分是

$\int_{0}^{9}x^{\frac{1}{2}}\,dx$

用幂次反比法则

$\int x^n \,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$

我们发现定积分是

$\int_{0}^{9}x^{\frac{1}{2}}\,dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_{0}^{9}$

根据微积分基本定理的推论，定积分等于

$\frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}}=18$

因此，该地区是方单位

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