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微积分1:体积

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例子问题

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问题1:体积

假设我要构造一个圆柱形容器。建造两个圆形的两端的成本是每平方英尺5美元，圆形的一面每平方英尺2美元。如果我的预算是100美元，这个集装箱的最大容量是多少?

可能的答案:

$\压裂{70}{6}\ sqrt{33 \π}$

$\压裂{15}{2}\√6{\压裂{10 \π}{3}}$

$V = \压裂{50}{3}\√6{\压裂{10}{3 \π}}$

$大概{\ \压裂{10 \π}{3}}$

$\压裂{70}{3}\√6{\压裂{\π}{3}}$

正确答案:

$V = \压裂{50}{3}\√6{\压裂{10}{3 \π}}$

解释：

写出表示圆柱体体积(V)和成本的方程。

$V = \πr ^ 2 h$

$100=5(2\pi r^2)+2(2\pi rh)=10\pi r^2 +4\pi rh$

我们要求出的值和这样可以使体积最大化。在对体积方程求导之前，我们先消去通过使用成本方程。

$H =\frac{100-10\pi r^2}{4\pi r}$

代入体积方程

$左(V = \πr ^ 2 \ \压裂{100 - 10 \πr ^ 2}{\ 4πr} \右)= r \离开(\压裂{100 - 10 \πr ^ 2}{4} \右)$

$V = \压裂100 r-10 \πr ^ {3} {4}$

所以现在在体积方程中被消去。对。求导，令它等于零，解出．

$博士\压裂{dV}{} = \压裂{100 - 30 \πr ^ 2} {4} = 0$

$大概{r = \ \压裂{10}{3 \π}}$

我们可以用这个寻找价值

$h = \压裂{100 - 10 \π\ \√{\压裂{10}{3 \π}}\右)^ 2}{4 \π\√6{\压裂{10}{3 \π}}}= \压裂{100 - \压裂{100}{3}}{4 \√6{\压裂{10 \π}{3}}}= \√6{\压裂{3}{10 \π}}\压裂{200}{12}$

$h = \压裂{50}{3}\√6{\压裂{3}{10 \π}}$

现在我们发现和使体积最大化，我们可以找到最大体积

$V =π\πr ^ 2 h = \ \左\√{\压裂{10}{3 \π}}\右)^ 2 \压裂{50}{3}\√6{\压裂{3}{10 \π}}$

$V = \压裂{50}{3}\√6{\压裂{10}{3 \π}}$

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问题1:地区

我们有这个函数 $f (x) = \ sqrt {x}$ 它被用来通过绕直线旋转来形成一个三维图形 $y = 4$ ．求出那个图形的体积 $x = 0$ 来 $x = 5$ ．

可能的答案:

103.269

432.129

体积是无限的

100

43.874

正确答案:

103.269

解释：

想象一个长度为的测试矩形 $4 - \ sqrt {x}$ 它是旋转的 $y = 4$ 形成有面积的圆形圆盘 $\π(4 - \ sqrt {x}) ^ 2$ ．圆盘有厚度 $\δx$ 所以它的体积是 $\pi(4-\sqrt{x})^2 \ x$ ．为了求出图形的总体积，把它变成一个积分。

$体积= \π\ int_ {0} ^ {5} (4 - \ sqrt {x}) ^ 2 dx$

执行集成

$体积= \π\ int_ {0} ^ {5} (x 8 \ sqrt {x} + 16) dx = \π\离开(\压裂{1}{2}(5)^ 2 - \压裂{16}{3}(5)^{\压裂{3}{2}}+ 16(5)\右)$

$体积= 103.269$

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问题3:如何查找区域的体积

考虑一个高度为H的体积V沿着某个轴，我们简称为H，这样 0 < h < H ．我们可以把这个图形表示成垂直于h轴的横截面积A(h)例如，对于一个底半径为r的锥体，我们可以选择轴穿过圆锥体在h = 0处的点，然后这个锥体就是一堆半径为r的小圆 r h/H ,所以 $A(h) = \pi r^2 h^2/H^2$ ．

是什么就…而言 A(h) ？

可能的答案:

$V = H ~ \cdot ~\frac{A(H) + A(0)}{2}$

$V = H \cdot \left( \lim_{h \to H} A(h) - \lim_{h \to 0} A(h) \right )$

$V = \int \frac{dh}{dx} ~ A(h) ~ dx + C$

$V = \frac{1}{2H} \int_{-H}^H ~A(h) ~ dh$

$V = \int_0^H A(h) ~ dh$

正确答案:

$V = \int_0^H A(h) ~ dh$

解释：

体积近似于黎曼和，当我们将n层堆叠在一起时形成 $\Delta h = H/n$ ， h_k = H k / n

$V \approx \sum_{k=1}^n A(h_k) ~ \Delta h$

在n变大的极限下，这个表达式变成了积分

$V = \int_0^H A(h) ~dh$

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问题4:如何查找区域的体积

碗里的体积是多少 z(x, y) = x^2 + y^2 ， 0 < z < 1 ？提示:这是一个绕z轴旋转的立体，半径为 $\sqrt{x^2 + y^2}$ ．

可能的答案:

3/2

$\pi/4$

$\pi/3$

$\pi/2$

正确答案:

$\pi/2$

解释：

自 z = r^2 我们知道体积元

$dV = A ~ dz = \pi ~ r^2 ~ dz = \pi ~z ~dz$ ，

积分得到:

$V = \int_0^1 \pi ~z~ dz = \pi \left[ \frac{z^2}{2} \right ]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{2} - 0 \right ) = \frac{\pi}{2}$

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问题5:如何查找区域的体积

以下功能:

f(x) = x + x^2

是绕着-轴来创建一个三维形状。这个物体在这个区间内的体积是多少 x = 0 来？

可能的答案:

$\frac{128}{7}\pi$

$\frac{196}{9}\pi$

$\frac{256}{15}\pi$

$\frac{136}{15}\pi$

正确答案:

$\frac{256}{15}\pi$

解释：

注意，对于函数中给定的x值:

f(x) = x + x^2

f(x)的值是曲线上对应点到x轴之间的距离。如果曲线绕x轴旋转，形成一个三维物体，F (x)可以看作是半径对于任意x值，物体的圆形横截面。

为了定义这个物体的体积，我们可以把它看作是沿着x轴堆叠的无限薄磁盘的总和:

$V = \int \pi(f(x)^{2})dx$

注意这是如何遵循圆柱或圆盘体积的公式的

$( \pi \cdot height \cdot radius ^2 )$ ，

在哪里 f(x) 是半径是高度。

代入函数和值域，可以重写为:

$V = \int_{0}^{2} \pi(x+x^{2})^{2}dx$

或

$V = \int_{0}^{2}\pi(x^{4} + 2x^{3} + x^{2})$

积分得到

$V = \pi \left(\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}\right)$

利用2的上界和0的下界，我们发现，

$V = \pi\left(\frac{2^{5}}{5}+\frac{2^{4}}{2} +\frac{2^{3}}{3}\right) - \pi\left(\frac{0^{5}}{5}+\frac{0^{4}}{2} +\frac{0^{3}}{3}\right) =\pi \frac{256}{15}$ ．

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问题6:如何查找区域的体积

确定边界区域的体积 y=x 和 y=x^2 如果区域围绕设在。

可能的答案:

$\frac{\pi}{5}$

$\frac{2\pi}{15}$

$\frac{4\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{11}$

$\frac{\pi}{30}$

正确答案:

$\frac{2\pi}{15}$

解释：

在边界的区域 y=x 和 y=x^2 ，写出计算绕轴旋转的固体体积的公式。这是洗涤法。

$V=\int_{a}^{b} A(x)\:dx= \pi \int_{a}^{b} (R(x)^2-r(x)^2)\:dx$

确定哪个函数是最上面的函数。这将是大半径，小半径由底部曲线表示。积分的边界在两个有界函数的交点处。求积分。

$V=\pi \int_{0}^{1} ((x)^2-(x^2)^2)\:dx$

$V=\pi \int_{0}^{1} x^2-x^4\:dx$

$V=\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right] = \frac{2\pi}{15}$

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问题7:如何查找区域的体积

单位圆由 $y=\sqrt{1-x^2}$ 如下图所示。求阴影区域的体积设在。阴影区域从 $x=-\sqrt{2}/2$ 结束于 $x=\sqrt{2}/2$ ．

截屏2015年05月31日下午12点26分17秒

可能的答案:

$\frac{5\pi}{6}\sqrt{8}$

$\frac{5\pi}{6}\sqrt{2}$

$\pi$

$\sqrt{2}\pi$

$2\sqrt{2}\pi$

正确答案:

$\frac{5\pi}{6}\sqrt{2}$

解释：

单位圆由 $y=\sqrt{1-x^2}$ 如下图所示。求阴影区域的体积设在。阴影区域从 $x=-\sqrt{2}/2$ 结束于 $x=\sqrt{2}/2$ ．

求一个区域的体积-轴，我们必须找到:

$V=\pi\int_a^b{f^2(x)}dx$

在我们的例子中，这是:

$V=\pi\int_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{1-x^2})^2}dx$

$V=\pi\int_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}{1-x^2} \; dx$

$V =\pi \left[x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}$

$V =\pi \left(\sqrt{2}/2-\frac{1}{3}(\sqrt{2}/2)^3\right) - \pi\left(-\sqrt{2}/2-\frac{1}{3}(-\sqrt{2}/2)^3\right)$

$V = \pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}\right) - \pi\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3}\left(-\frac{2\sqrt{2}}{8}\right) \right )\right)$

$V = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{24} \right )-\pi\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{2\sqrt{2}}{24}\right )$

$V = \pi \left(\frac{12\sqrt{2}}{24}-\frac{2\sqrt{2}}{24} \right )-\pi\left(-\frac{12\sqrt{2}}{24} +\frac{2\sqrt{2}}{24}\right )$

$V = \pi \left(\frac{10\sqrt{2}}{24} \right )-\pi\left(-\frac{10\sqrt{2}}{24} \right )$

$V = \frac{20\pi}{24}\sqrt{2}$

$V = \frac{5\pi}{6}\sqrt{2}$

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问题8:如何查找区域的体积

用圆柱盘的方法，求出图的区域的体积

f(x)=x^2

围绕着-轴在区间上 [0,10] ．

可能的答案:

$10000\pi$ 单位的立方

$40000\pi$ 单位的立方

$20000\pi$ 单位的立方

$\frac{1000}{3}\pi$ 单位的立方

正确答案:

$20000\pi$ 单位的立方

解释：

体积的公式为

$V=\pi\int_{a}^{b}r^2 dx$

在哪里 r=f(x) ．

因此,

$V=\pi\int_{0}^{10}(x^2)^2 dx=\pi\int_{0}^{10}x^4 dx$ ．

在求积分的时候，我们会用到幂逆法则，

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ．

应用这个规则我们得到

$\pi\int_{0}^{10}x^4 dx=\pi\left(\frac{1}{5}x^5\right)\left.\begin{matrix} \, \end{matrix}\right|_{0}^{10}$ ．

根据微积分第一基本定理的推论，

$\pi\left(\frac{1}{5}x^5\right)\left.\begin{matrix} \, \end{matrix}\right|_{0}^{10}=\pi \left(\left[\frac{1}{5}(10)^5\right]-\left[\frac{1}{5}(0)^5\right]\right)=20000\pi$ ．

因此，体积是

$20000\pi$ 单位立方。

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问题9:如何查找区域的体积

用圆柱盘的方法，求出图的区域的体积

$f(x)=\sqrt{x}$

围绕着-轴在区间上 [0,3] ．

可能的答案:

$\frac{9}{2}\pi$ 单位的立方

$9\pi$ 单位的立方

${}4\pi$ 单位的立方

$\frac{9}{4}\pi$ 单位的立方

正确答案:

$\frac{9}{2}\pi$ 单位的立方

解释：

体积的公式为

$V=\pi\int_{a}^{b}r^2 dx$

在哪里 r=f(x) ．

因此,

$V=\pi\int_{0}^{3}(\sqrt{x})^2 dx$ ．

在求积分的时候，我们会用到幂逆法则，

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ．

应用这个规则我们得到

$V=\pi\int_{0}^{3}(\sqrt{x})^2 dx=\pi\int_{0}^{3}x\, dx=\pi\left(\frac{1}{2}x^2\right)\left.\begin{matrix} \, \end{matrix}\right|_{0}^{3}$ ．

根据微积分第一基本定理的推论，

$\pi\left(\frac{1}{2}x^2\right)\left.\begin{matrix} \, \end{matrix}\right|_{0}^{3}= \pi\left(\left[\frac{1}{2}(3)^2\right]-\left[\frac{1}{2}(0)^2\right]\right)$ ．

因此，体积是

$\frac{9}{2}\pi$ 单位立方。

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问题1:体积

求旋转形成的固体形状的体积 f(x) 关于-轴在区间上 [0,3] ．

f(x)=x^4+6

可能的答案:

$\frac{14391 \pi}{5}$

$\frac{14391}{5}$

$\frac{14391 \pi}{9}$

$\frac{1439 \pi}{5}$

正确答案:

$\frac{14391 \pi}{5}$

解释：

求在间隔上绕x轴旋转f(x)得到的立体体积 [0,3]

f(x)=x^4+6

回想一下下面的固体体积公式:

$V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

其中A(x)等于旋转函数形成的圆盘的面积:

$A(x)=\pi r^2$

r=f(x)

所以我们需要把它们放在一起:

$A(x)=\pi(x^4+6)^2=\pi(x^8+12x^4+36)$

那么，我们知道积分的极限一定是0和3，因为它们是我们要处理的区间。

$V=\pi \int_{0}^{3}x^8+12x^4+36dx$

$V=\pi \left(\frac{x^9}{9}+\frac{12x^5}{5}+36x\right) _0 ^3$

(注意，代入0会得到0，所以我们只需要担心3)

$V=\pi \left(\frac{3^9}{9}+\frac{12(3)^5}{5}+36(3)\right)=\frac{14391 \pi}{5}$

所以我们的答案是:

$\frac{14391 \pi}{5}$

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赫尔大学，数学理学学士。利兹大学，数学硕士。

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