回想一下，一个函数有临界点，它的一阶导数等于零或没有定义。

所以,鉴于，我们需要找到v'(t)

这个函数在什么地方等于0 ?T =0。我们可以找到其他的，但我们只需要一个。把t=0代入原方程求出点(0,0)在这里是一个鞍点。

当函数由增到减时，会出现局部最大值。这意味着函数的导数会从正变为负。

第一步是求导数。

找出临界点(何时)是或未定义)。

接下来，找出这两个值中的哪一个从积极到消极的变化。在每个区域插入一个值。

要测试的区域是，,。

第一个区域中的值，例如，给出一个正数，第二个范围内的值给出一个负数，这意味着一定是最大值出现的点。

去发现这一点的坐标，代入在,而不是，得到。

为了求出豆袋达到最大高度的时间，我们需要求出豆袋速度为零的时间。

我们可以通过对高度位置函数对时间求导得到:

设这个等于0，我们就可以解出t:

为了找到局部最大值，我们必须找到函数的导数等于0的地方。

已知这个函数的导数收益率使用幂次法则。我们看到导数永远不会为零。

然而，我们给定了一个闭合区间，因此我们必须继续检查端点。通过绘制函数图，我们可以看到端点实际上是一个局部极大值。

求函数极值的第一步是求导并令其为零

为了解等式的右边，我们需要找到它的根。我们可以使用二次公式:

或者把这个等式分解成:

不管怎样，唯一的非负根是2。

为了判断这是局部极小值还是最大值，我们对方程求二阶导数代入这个值2

由于二阶导数是正的，我们知道它表示一个局部极小值。

第一次修改：

用乘法法则求导:

要找到局部极值，将其设置为0…

…和solve for…

＊

因为我们除以我们必须记住这一点是一个有效解

因此，我们知道有两个可能的局部极值:和。

通过代入，我们得到了两个可能的局部极值:和。因此，我们知道斜率是正的和。这意味着不能是局部最大值，只剩下作为一个可能的答案。

接下来，我们可以求出点的斜率。它是:

这是负的，意味着从正斜率到负斜率，使其成为局部极大值。

首先，我们需要找到函数的临界点。

这是一个多项式的导数，所以你可以逐项运算。

这告诉我们，

。

解因式分解，我们得到

。

它给出了0和的临界值。因为我们是在区间上操作的，我们确保我们的端点包括在内，并排除这个区间之外的临界值。现在我们知道最大值可能出现在或。随着函数的减小，我们知道最大值出现在这个值就是。

即使一阶导数()是在，没有最大值或最小值，因为函数的两边都在增加(导数在两边都是正的)。然而，函数在改变其凹度(从负变为正)。我们可以知道，因为二阶导数()也是在从负向正。洞和渐近线是无关的。当二阶导数在一个特定点附近改变符号时，我们称之为拐点。拐点是指改变函数凹度的点。

要找到图形的临界点，首先必须对图形的方程求导，并令其等于零。要对这个方程求导，必须用幂次法则，

。

我们还必须记住常数的导数是0。这个图的方程的导数是。解当你会发现。现在棘手的部分是找出这个点是局部极大值还是局部极小值。为了求出这个，我们需要知道斜率是在这一点上增加还是减少。记住，图形方程的导数给出了任意点处的斜率。

因此当我们代入对于斜率方程，我们发现斜率是一个正值。这意味着斜率随着曲线的离开而增加也就是说这个点是局部极小值，我们代入代入斜率方程，得到斜率为负，证实了这一点是局部最小值。这意味着在这个图上没有局部最大值。

因为局部极大值出现在，它告诉我们两条信息:导数必须是0重点是一定在这个函数的图像上。因此，我们必须解以下两个方程:

。

从第一个方程我们得到或。

为了求导数，我们应用除法定则

。

解决，我们得到。把这个代入表达式for给了。