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微积分1:面积

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例子问题

例子问题1:如何画面积函数

屏幕截图2015 07 10 12

分段线性函数的图,因为 [-2,4] 如上图所示。

找到

$\int_{-2}^{4}f(x)dx$ ．

可能的答案:

3.5

-3.5

正确答案:

解释：

求出图下的面积从 [-2,4] ．为此，将图形分解为三角形、正方形和矩形，以计算较小间隔内的单个区域，然后将它们全部相加。

增加的区域为:

$A=\left[\frac{1}{2}(1)(2)+\frac{1}{2}(1)(-1)+\frac{1}{2}(1)(-1)+(1)(1)+(2)(3)\right]=7$

因此,

$\int_{-2}^{4}f(x)dx=7$ ．

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例子问题2:如何画面积函数

求出以曲线为界的面积 $y=\sin x \cos x$ 和-轴除以区间 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ．

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

曲线在给定区间内的象限1，这就给出了积分的界限。求这个定积分就得到了我们要的面积。

为了求不定积分，让 $u=\sin x$ ．由此可见, $du = \cos x dx$ ．因此

$\int (\sin x \cos x)dx= \int u du=\frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2} \sin^2 x + C$

所以

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x \cos x)dx= \left[ \frac {1}{2}\sin^2 x \right] ^\frac{\pi}{2}_0= \left( \frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{2} \right) - \left( \frac{1}{2}\sin^2 0 \right)=\frac{1}{2}$

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例子问题1:如何画面积函数

求出以曲线为界的面积 y=e^x 和-轴除以区间 [0,1] ．

可能的答案:

e-1

$\ln (e+1)$

e+1

正确答案:

e-1

解释：

曲线在给定的区间内是正的，所以区间的端点标志着积分的界限。这个函数很容易积分因为的导数 e^x 本身就是!

$\int_{0}^{1} e^xdx=\left[ e^x\right]^1_0=e^1-e^0=e-1$

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例子问题1:区域

求出以曲线为界的面积 $y=e^{-x}$ 和-轴除以区间 [0,1] ．

可能的答案:

$\frac{1}{e}-1$

$\frac{e+1}{e}$

$\frac{e-1}{e}$

$\frac{1}{e}+1$

$\frac{1-e}{e}$

正确答案:

$\frac{e-1}{e}$

解释：

这个函数在给定的区间内是正的，所以区间的端点标志着积分的边界。这是一个直接的积分可以用u替换来求解。让 u = -x 所以 du = -dx ．这意味着

$\int e^{-x}dx = - \int e^udu = -e^u + C = -e^{-x} + C$

所以

$\int_{0}^{1} e^{-x}dx=\left[ -e^{-x}\right]^1_0=(-e^{-1})-(-e^0)=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}$

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示例问题5:如何画面积函数

求出以曲线为界的面积 y=2x-x^2 在第一象限。

可能的答案:

$\frac{3}{4}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{2}{3}$

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

曲线在象限1上 [0,2] 也就是积分的界限。注意x截距为0和2，抛物线开口向下。

下面的定积分是通过取给定多项式函数的每一项的不定积分，在积分边界处求这个不定积分的值，然后减去这些值来求解的。

对于这个特殊的积分， $\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 来解决。

$\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx=(x^2-\frac{1}{3}x^3)|^2_0=(2^2-\frac{1}{3}\cdot2^3)-(0^2-\frac{1}{3}\cdot0^3)=\frac{4}{3}$

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例子问题1:如何画面积函数

求出下列函数的下列边界之间的曲线下的面积。

h(x)=3x^2+7 的边界之间而且

可能的答案:

160

205

100

125

正确答案:

160

解释：

我们可以通过取函数的不定积分并将两个边界作为x值来求出曲线下的面积。的不定积分 h(x)=3x^2+7 是 x^3+7x ．如果我们用这两个边界，就能得到答案， 5^3+7(5)-(0^3+7(0)) = 160 ．

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例子问题1:如何画面积函数

求以下定积分:
$\int_{0}^{\pi}(Sin(x)Cos(x))dx$

可能的答案:

${\sqrt{2}}/2$

$2\pi$

$\sqrt{2}$

正确答案:

解释：

对于这个积分，我们可能会尝试直接积分;然而，这并不是积分法则允许我们这样做。

我们必须使用一个复杂的积分方法，在这里u替换是最好的。

我们注意到Cos(x)是Sin(x)的导数所以最好是 u=Sin(x),du=Cos(x)dx ．

现在我们已经找到了一个合适的u和du，我们可以直接代入原来的积分

$\int_{0}^{\pi}(u)du=\frac{u^2}{2}_{x=0}^{x=\pi}$

但是，我们的极限是用x表示的，所以我们必须在求值之前把u=Sin(x)代回去

$\frac{(Sin(x))^2}{2}_{x=0}^{x=\pi}=\frac{Sin(\pi)^2}{2}-\frac{Sin(0)^2}{2}=0-0=0$

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纽约市立大学亨特学院，数学文学学士。康涅狄格大学，理科硕士，数学。

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