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微积分1:微分函数

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例子问题

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例子问题1:如何求中点黎曼和

用中点黎曼和来估计以下函数曲线下的面积 x=0 来 x=4 与 n=2 ．

$f(x)=\frac{1}{2}x^3+4$

可能的答案:

$\frac{35}{2}$

$\frac{9}{2}$

正确答案:

解释：

如果我们想估计曲线下的面积 x=0 来 x=4 并且被告知要使用 n=2 ，这意味着我们使用两个矩形来估计面积，每个矩形都是两个单位宽，其高度是区间中点的函数值。我们有一个矩形 x=0 来 x=2 ，其高度为函数的值 x=1 的矩形 x=2 来 x=4 ，其高度为函数的值 x=3 ．首先我们可以求出函数在这些中点处的值，然后将两个矩形的面积相加，得到如下结果:

$f(1)=\frac{1}{2}(1)^3+4=\frac{9}{2}$

$f(3)=\frac{1}{2}(3)^3+4=\frac{35}{2}$

$A=2\left(\frac{9}{2}\right)+2\left(\frac{35}{2}\right)=44$

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例子问题2:如何求中点黎曼和

估计下面函数曲线下的面积 x=0 来 x=4 使用中点黎曼和 n=4 矩形:

$f(x)=\frac{1}{4}x^2+3$

可能的答案:

$\frac{73}{4}$

$\frac{69}{4}$

$\frac{49}{16}$

$\frac{97}{8}$

$\frac{57}{16}$

正确答案:

$\frac{69}{4}$

解释：

如果我们被告知使用 n=4 矩形的 x=0 来 x=4 ，这意味着我们有一个矩形 x=0 来 x=1 的矩形。 x=1 来 x=2 的矩形。 x=2 来 x=3 的矩形 x=3 来 x=4 ．我们可以看到，每个矩形的宽度为因为我们有一个区间我们正在使用的单位长矩形来估计曲线下的面积。每个矩形的高度是函数在其区间中点处的值，因此，首先我们求出每个矩形的高度，然后将它们的面积相加，得到答案:

$f(0.5)=\frac{1}{4}(0.5)^2+3=\frac{49}{16}$

$f(1.5)=\frac{1}{4}(1.5)^2+3=\frac{57}{16}$

$f(2.5)=\frac{1}{4}(2.5)^2+3=\frac{73}{16}$

$f(3.5)=\frac{1}{4}(3.5)^2+3=\frac{97}{16}$

$A=(1)\left(\frac{49}{16}\right)+(1)\left(\frac{57}{16}\right)+(1)\left(\frac{73}{16}\right)+(1)\left(\frac{97}{16}\right)=\frac{276}{16}=\frac{69}{4}$

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例子问题1:功能

求下面的面积 y=1-x^2 在间隔中 [0,1] 使用五个中点黎曼和。

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

0.33

0.67

0.66

$\frac{1}{3}$

正确答案:

0.67

解释：

问题是这样的:

把这些矩形加起来以近似曲线下的面积为

A=0.2(1-0.1^2)+0.2(1-0.3^2)+0.2(1-0.5^2)+0.2(1-0.7^2)+0.2(1-0.9^2)

A=0.2[(1-0.1^2)+(1-0.3^2)+(1-0.5^2)+(1-0.7^2)+(1-0.9^2)]

A=0.2[5-0.1^2-0.3^2-0.5^2-0.7^2-0.9^2]

A=0.2[3.35]

A=0.67

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问题4:如何求中点黎曼和

近似曲线下的面积 $0\leq x\leq 8$ 在给定函数图的情况下，使用大小为5的分区的中点黎曼和。

Graph1

可能的答案:

$A\approx 29$

$A\approx 26$

$A \approx 18$

$A \approx 37$

正确答案:

$A\approx 29$

解释：

首先求x的变化量:

$\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{8}{5}=1.6$

然后定义分区间隔:

$[x_{i-1},x_i]=[0,1.6),[1.6,3.2),[3.2,4.8),[4.8,6.4),[6.4,8]$

然后我们选择每个区间的中点:

$\{\bar{x_i}\}=\{0.8,2.4,4.0,5.6,7.2\}$

然后我们求出这个点的函数值。这是通过观察图来确定的

$f(\bar{x_i})\approx 4.8,4.5,4,1.6,3.4$

然后我们把这些值代入黎曼和公式

$\\A\approx \sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x=4.8\cdot 1.6+4.5\cdot 1.6+4\cdot 1.6+1.6\cdot 1.6+3.4\cdot 1.6\\ =1.6(4.8+4.5+4+1.6+3.4)=1.6\cdot 18.3=29.28$

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例子问题1:中点黎曼和

用八个区间的黎曼和近似给定曲线下的面积 $-4\leq x\leq12$ ．

f(x)=2x^3-5x^2+9x-5

可能的答案:

$A\approx 3824$

$A\approx 7648$

$A\approx 4128$

$A\approx 8256$

正确答案:

$A\approx 7648$

解释：

我们首先定义分区的大小和分区本身。

$\\ \Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{12+4}{8}=2\\$

$[x_{i-1},x_i]=[-4,-2],[-2,0],[0,2],[2,4],[4,6],[6,8],[8,10],[10,12]$

然后我们选择每个区间的中点:

$\bar{x_i}=-3,-1,1,3,5,7,9,11$

然后求每个点的函数值。

$f(\bar{x_i})=-131,-21,1,31,165,499,1129,2151$

然后我们将这些值代入黎曼和公式。

$A\approx\sum_{i=1}^nf(\bar{x_i})\Delta x=2(-131-21+1+31+165+499+1129+2151)=7648$

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例子问题6:如何求中点黎曼和

使用莱曼和的中点 n=3 ，估计曲线下的面积 x=0 来 x=6 对于以下功能:

$f(x)=\frac{1}{2}x^3-7x^2+14x+60$

可能的答案:

260

275

320

137.5

200

正确答案:

275

解释：

$\Delta x =\frac{ 6-0}{3} = 2$

因此，我们的区间是来，来,来．

每个区间的中点分别为:，,．

接下来，我们在每个中点对函数求值。

$f(x)=\frac{1}{2}x^3-7x^2+14x+60$

f(1)=67.5

f(3)=52.5

f(5)=17.5

最后，我们用这些值和来计算估计的面积 $\Delta x = 2$

$67.5\cdot 2+52.5\cdot 2+17.5\cdot 2$

=275

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示例问题7:如何求中点黎曼和

黎曼和问题

上表给出了函数在某些点上的值。

利用表中的数据，求的黎曼和的中点 F(x) 与 n=3 ,从 x=0 来 x=3 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\Delta x =\frac{ 3-0}{3} = 1$

因此，我们的区间是来，来,来．

每个区间的中点分别为: 0.5 ， 1.5 , 2.5 ．

接下来，使用数据表获取函数在每个中点的值。

f(0.5)=0

f(1.5)=9

f(2.5)=5

最后，我们用这些值和来计算估计的面积 $\Delta x = 1$ ．

$0\cdot 1+9\cdot 1+5\cdot 1$

=14

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例8:如何求中点黎曼和

求积分

$\int_{1}^{8}{\sqrt{x}}dx$

使用中点黎曼和近似 n=10 小区间。

可能的答案:

14.4248

8.0012

20.6068

5.8731

1.1612

正确答案:

14.4248

解释：

利用该公式求解了中点黎曼和近似

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx (\frac{b-a}{n})\left [ f({m_{1}})+f({m_{2}})+...+f({m_{n}}) \right ]$

在哪里子区间的个数和 $f(m_{i})$ 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{n})=(\frac{8-1}{10})=0.7$ ．

每个中点的近似值如下。

问题2

所有近似中点值的和为 20.6068259 ,因此

$(\frac{b-a}{n})\left [ f({m_{1}})+f({m_{2}})+...+f({m_{n}}) \right ] =0.7(20.6068259)\approx14.4248$

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问题9:如何求中点黎曼和

求积分

$\int_{3}^{7}\frac{1}{x}dx$

使用中点黎曼和近似 n=10 小区间。

可能的答案:

0.3125

5.1923

0.2500

0.8467

2.1167

正确答案:

0.8467

解释：

利用该公式求解了中点黎曼和近似

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx (\frac{b-a}{n})\left [ f({m_{1}})+f({m_{2}})+...+f({m_{n}}) \right ]$

在哪里子区间的个数和 $f(m_{i})$ 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{n})=(\frac{7-3}{10})=0.4$ ．

每个中点的近似值如下。

问题一解决方案

所有近似中点值的和为 2.116738 ,因此

$(\frac{b-a}{n})\left [ f({m_{1}})+f({m_{2}})+...+f({m_{n}}) \right ] =0.4(2.116738)\approx0.8467$

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例子问题10:如何求中点黎曼和

求积分

$\int_{0}^{\pi /2}\cos (x)dx$

使用中点黎曼和近似 n=10 小区间。

可能的答案:

$\pi/2$

$-\pi/6$

正确答案:

解释：

利用该公式求解了中点黎曼和近似

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx (\frac{b-a}{n})\left [ f({m_{1}})+f({m_{2}})+...+f({m_{n}}) \right ]$

在哪里子区间的个数和 $f(m_{i})$ 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{n})=(\frac{\pi /2-0}{10})=\pi/20\approx0.1571$ ．

每个中点的近似值如下。

屏幕截图2015 0611下午6.05.56

所有近似中点值的和为 6.37275 ,因此

$(\frac{b-a}{n})\left [ f({m_{1}})+f({m_{2}})+...+f({m_{n}}) \right ] =0.1571(6.37275)\approx1$

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