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基础几何:正方形

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例子问题

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例子问题1:广场

一边下面这个正方形的长度是12。对角线的长度是多少?

Square_diagonal

可能的答案:

288

$12\sqrt{2}$

不能从所提供的信息确定。

正确答案:

$12\sqrt{2}$

解释：

对角用相邻的边组成一个三角形．因为这是一个正方形我们知道这是一个直角三角形我们可以用勾股定理来确定．两边的长度形成每条腿和是斜边。方程是这样的

$12^{2}+12^{2}=d^{2}$

解出

$144+144=d^{2}$

$288=d^{2}$

$d=\sqrt{288}$

我们可以化简成

$\sqrt{144\cdot 2}=\sqrt{144}\cdot \sqrt{2}=12\sqrt{2}$

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例子问题1:如何求正方形对角线的长度

一个人想在自己的土地上建一个不太规范的垒球场，结果发现他的空间只够让本垒板到一垒之间的距离达到44英尺。假设他按照这个标准建造它，从本垒到二垒的距离(最近的英尺)是多少?

(注:四个垒是一个完全正方形的顶点，依次为本垒、一垒、二垒、三垒)。

可能的答案:

$62\; \textrm{ft}$

$76\; \textrm{ft}$

$88\; \textrm{ft}$

$66\; \textrm{ft}$

$72\; \textrm{ft}$

正确答案:

$62\; \textrm{ft}$

解释：

从本垒到一垒的路径是一个完全正方形的边;从本垒到二垒的路径是对角线。两条边和一条对角线组成a $45^{\circ } -45^{\circ } -90^{\circ }$ 三角形，对角线的长度 $\sqrt{2}$ 只要一边。

从家到二垒的距离是 $\sqrt{2}$ 乘以到一垒的距离

$d = 44 \cdot \sqrt{2} \approx 44 \cdot 1.414 \approx 62$

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例子问题1:如何求正方形对角线的长度

一个正方形地块的面积为1200平方米。以最近的米计算，从一个角到另一个角有多远?

可能的答案:

$300\ meters$

$98\ meters$

$25\ meters$

$196\ meters$

$49\ meters$

正确答案:

$49\ meters$

解释：

正方形也是一个菱形，所以它的面积可以计算为它的对角线积的一半:

$A= \frac{1 }{2}d^{2}$ ，

在哪里是公共对角线长度。

自 A=1200 ， $1200 = \frac{1 }{2}d^{2}$ ．

$2400 = d^{2}$

$d = \sqrt{2400} \approx 49$

两角之间的距离约为49米。

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例子问题1:如何求正方形对角线的长度

求出正方形对角线的长度。

Square_8

可能的答案:

$8\sqrt2$

$4\sqrt5$

其他的答案都不对。

正确答案:

$8\sqrt2$

解释：

这条对角线把正方形切成两个相等的三角形。它们的斜边是正方形的对角线，所以我们可以求出斜边。

我们需要使用勾股定理 c^2=a^2+b^2 ，其中a和b是条腿，c是斜边。

两条腿的长度是8。代入这个式子，解出c:

c^2=8^2+8^2=64+64=128

$c=\sqrt{128}=\sqrt{2\cdot 64}=8\sqrt2$

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示例问题5:如何求正方形对角线的长度

求边长为的正方形对角线的长度厘米。

可能的答案:

$16\text{ cm}$

$4\text{ cm}$

$10\text{ cm}$

$25\text{ cm}$

$4\sqrt{2}$ $\text{cm}$

正确答案:

$4\sqrt{2}$ $\text{cm}$

解释：

你可以用两种不同的方法来做这个问题，从而得到最终的答案:

1.勾股定理

2.特殊的三角形(45-45-90)

1.对于第一个想法，使用勾股定理: a^2 +b^2 =c^2 ，其中a和b是正方形的边长，c是对角线的长度。

4^2+4^2=c^2

c^2=32

$c=\sqrt{32}$

$c=\sqrt{16*2}=\sqrt{16}\, \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

2.如果你知道所有的正方形都可以被做成两个特殊的直角三角形，它们的角是45-45-90，那么你就可以使用一个公式:

假设正方形的边长是a。那么正方形的对角线(或直角三角形的斜边)将是 $a\sqrt{2}$ ．

用a=4

$4\sqrt{2}$

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例子问题1:如何求正方形对角线的长度

正方形的周长是48。它对角线的长度是多少?

可能的答案:

$24\sqrt{2}$

$12\sqrt{2}$

$48\sqrt{2}$

$2\sqrt{12}$

$\sqrt{12}$

正确答案:

$12\sqrt{2}$

解释：

周长=边长* 4

48 =边* 4

一边= 12

我们可以把正方形分成两个相等的直角三角形。这个正方形的对角线就是这两个三角形的斜边。

因此，我们可以用勾股定理来求解对角线:

side^2 + side^2 = hypotenuse^2

12^2+12^2=hypotenuse^2

144 + 144=hypotenuse^2

$\sqrt{144+144}=\sqrt{hypotenuse^2}$

$hypotenuse=\sqrt{2\times 144}=\sqrt{2\times 12\times 12}=12\sqrt{2}$

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示例问题7:如何求正方形对角线的长度

正方形的周长是单位。这个正方形的对角线长多少个单位?

可能的答案:

$14\sqrt2$

$14\sqrt3$

$7\sqrt2$

正确答案:

$7\sqrt2$

解释：

从周长，我们可以求出正方形每边的长度。根据定义，正方形的边长是相等的因此周长可以改写为，

4s=28

s=7

然后我们用勾股定理求对角线，也就是一个直角三角形的斜边每条边都是正方形的一条边。

a^2+b^2=c^2

7^2+7^2=c^2

$c=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}=\sqrt{2\cdot49}=7\sqrt2$

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例子问题1:如何求正方形对角线的长度

求边长为的正方形对角线的长度．

可能的答案:

$8\sqrt2$

$4\sqrt2$

4.5

正确答案:

$4\sqrt2$

解释：

正方形的对角线也是直角三角形的斜边，其边长是三角形的腿。

用勾股定理求对角线的长度。

$\text{Diagonal}=\sqrt{\text{side length}^2+\text{side length}^2}$

$\text{Diagonal}=\sqrt{2(\text{side length})^2}$

$\text{Diagonal}=(\text{side length})\sqrt2$

对于问题中给定的平方，

$\text{Diagonal}=4\sqrt2$

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例子问题1:如何求正方形对角线的长度

求边长为的正方形对角线的长度．

可能的答案:

$5\sqrt2$

$2\sqrt2$

$20\sqrt2$

$10\sqrt2$

正确答案:

$10\sqrt2$

解释：

正方形的对角线也是直角三角形的斜边，其边长是三角形的腿。

用勾股定理求对角线的长度。

$\text{Diagonal}=\sqrt{\text{side length}^2+\text{side length}^2}$

$\text{Diagonal}=\sqrt{2(\text{side length})^2}$

$\text{Diagonal}=(\text{side length})\sqrt2$

对于问题中给定的平方，

$\text{Diagonal}=10\sqrt2$

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示例问题10:如何求正方形对角线的长度

求边长为的正方形对角线的长度．

可能的答案:

$7\sqrt2$

$30\sqrt2$

$15\sqrt2$

正确答案:

$15\sqrt2$

解释：

正方形的对角线也是直角三角形的斜边，其边长是三角形的腿。

用勾股定理求对角线的长度。

$\text{Diagonal}=\sqrt{\text{side length}^2+\text{side length}^2}$

$\text{Diagonal}=\sqrt{2(\text{side length})^2}$

$\text{Diagonal}=(\text{side length})\sqrt2$

对于问题中给定的平方，

$\text{Diagonal}=15\sqrt2$

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