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AP微积分BC:截面体积和区域面积

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例子问题

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例子问题1:截面体积和区域面积

通过绕x轴按以下边界旋转该区域来确定固体的体积:

y=x^2-4x+5

y=0

x=1

x=4

可能的答案:

$18\pi$

$\frac{78\pi }{5}$

$\frac{36\pi }{7}$

$32\pi$

$\frac{46\pi }{3}$

正确答案:

$\frac{78\pi }{5}$

解释：

从微积分中，我们知道不规则固体的体积可以通过求以下积分来确定:

$V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

其中A(x)是任意点x处固体截面积的方程，我们知道积分的边界是x=1和x=4，如题中所示，现在我们需要找到固体面积的表达式A(x)

根据给定的边界，我们知道未旋转区域的边界在底部是x轴(y=0)，在顶部是直线y=x^2-4x+5。因为绕x轴旋转，我们知道实体在任意点x处的半径就是距离y=x^2-4x+5。现在我们有了一个函数，它描述了实体在任意点x处的半径，我们可以把这个函数代入圆的面积公式，得到实体在任意点的截面积的表达式:

$A(x)=\pi r^2=\pi (x^2-4x+5)^2=\pi (x^4-8x^3+26x^2-40x+25)$

现在我们有了固体截面积的方程，我们可以从x=1到x=4积分得到它的体积:

$V=\int_{1}^{4}\pi (x^4-8x^3+26x^2-40x+25)dx$

$=\pi [\frac{1}{5}x^5-2x^4+\frac{26}{3}x^3-20x^2+25x]_{1}^{4}=\frac{78\pi }{5}$

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例子问题2:截面体积和区域面积

假设函数 f(x) = 0 ， x=y^2 , x=4 形成一个封闭区域。将这个区域绕x轴旋转。体积是多少?

可能的答案:

$\frac{32\pi}{5}$

$8\pi$

$\frac{128\pi}{13}$

$4\pi$

$\frac{64}{5}\pi$

正确答案:

$8\pi$

解释：

写出圆柱壳的公式，其中壳半径是和吗为壳层高度。

$V=\int_{a}^{b} 2\pi rh \:dy$

确定炮弹半径。

r=y

确定壳体高度。这是通过减去正确的曲线， x=4 ，左侧曲线， x=y^2 ．

h=4-x=4-y^2

找到的交叉点 x=y^2 而且 x=4 来确定积分的y界。

4=y^2

2=y

积分限是0到2。把所有已知值代入公式，求积分值。

$V=\int_{a}^{b} 2\pi rh \:dy = \int_{0}^{2} 2\pi \cdot y\cdot \left ( 4-y^2)dy$

$V= 2\pi \int_{0}^{2} \left ( 4y-y^3\right ) dy$

$V=2\pi \left[ 2y^2 - \frac{1}{4}y^4\right]_{0}^{2} = 2\pi \left[2(2)^2 -\frac{1}{4}(2)^4\right] = 2\pi[8-4]= 8\pi$

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示例问题3:截面体积和区域面积

求出旋转以其为界的区域所产生的固体的体积 {}y = sin(x) 和-轴在第一象限的设在。

可能的答案:

$\frac{1}{4}\pi$

$\frac{1}{2}\pi^2$

$\pi$

$\pi^2$

$\frac{1}{2}\pi$

正确答案:

$\frac{1}{2}\pi^2$

解释：

因为我们是围绕水平线旋转一个感兴趣的区域 {}y = 0 ，我们需要用x表示内外半径。

记得公式:

$Volume = \pi \int_{b}^{a} [(\textup{outer radius})^{2} - (\textup{inner radius})^{2}]dx$

外半径是 y = sin(x) 内半径是 y = 0 ．区域的x极限在 x=0 而且 $x=\pi$ ．所以音量设置是:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} sin^{2}x$

利用三角恒等式，我们知道:

$sin^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos 2x$

因此:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} sin^2x dx =\pi \int_{0}^{\pi} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x\right) dx$

$= \pi \left[\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}sin2x\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\pi^2$

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例子问题1:截面体积和区域面积

一名男子在暴风雨中把一杯水倒在了外面。杯子高度的变化率等于 $\small 5t^{1/2}$ ．水的高度是多少 $\small t=9$ ？假设杯子是空的 ${}\small t=0$ ．

可能的答案:

$\small \frac{5}{6}$

$\small 15$

$\small 27$

$\small 90$

$\small 270$

正确答案:

$\small 90$

解释：

高度的变化率是 $\small \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$ ,这意味着 $\small \small \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=5t^{1/2}$ ．

求9秒后的高度，我们需要积分得到 ${}\small h(t)$ ．

两边同时乘以 $\small dt$ 得到 $\small dh=5t^{1/2}dt$ 然后对两边积分。

这给了我们

$\small h=\frac{10t^{3/2}}{3}+c$ ．

既然杯子是空的 $\small t=0, h(0)=0$ ,所以 $\small c=0$ ．

这意味着 $\small \small h(9)=10(9)^{3/2}/3=90$ ．题目中没有给出单位，所以答案没有单位是可以接受的。

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例子问题1:截面体积和区域面积

近似于围绕y轴旋转并以函数为界的第一象限内固体的体积: y=9x 而且 y=x^3 ．将卷四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

写出洗衣机的方法。

$V=\int_{a}^{b}\pi[R(y)^2-r(y)^2]\:dy$

使方程相互相等来确定边界。

9x=x^3

9=x^2

x=3

边界是0到3。

确定大半径和小半径。把方程写成y的形式。

$R(y)= \sqrt[3]{y}$

$r(y)=\frac{y}{9}$

建立积分并解出体积。

$V=\int_{0}^{3}\pi[(\sqrt[3]{y})^2-(\frac{y}{9})^2]\:dy$

$V=\int_{0}^{3}\pi[y^{\frac{2}{3}}-\frac{y^2}{81}]\:dy=\pi[\frac{3}{5}y^\frac{5}{3}-\frac{y^3}{243}]_{0}^{3}=11.41353$

最接近整数的卷为:

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示例问题6:截面体积和区域面积

通过旋转曲线确定固体的体积 $y=\sqrt[3]{x}$ 和线 x=1 通过旋转设在。

可能的答案:

$\frac{1}{5}\pi$

$\frac{2}{5}\pi$

$\frac{3}{5}\pi$

$\frac{12}{5}\pi$

$\frac{8}{5}\pi$

正确答案:

$\frac{3}{5}\pi$

解释：

写出圆柱壳的体积公式。

$V=\int_{a}^{b}2\pi (\textup{shell radius})(\textup{shell height}) dy$

壳层半径是．

壳层高度是关于的函数．重写这个方程。

$y=\sqrt[3]{x}$

x=y^3

$\textup{shell height}: 1-y^3$

边界在y轴上，因为厚度变量是．这是从0到1，从直线的交点开始 x=1 而且 $y=\sqrt[3]{x}$ 是在 (1,1) ．

代入所有的值并解出体积。

$V=\int_{0}^{1}2\pi (y)(1-y^3) dy=\int_{0}^{1}2\pi (y-y^4)dy$

$V=2\pi \int_{0}^{1}(y-y^4)dy= 2\pi \left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^5}{5}\right]_{0}^{1}= 2\pi\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right]= \frac{3}{5}\pi$

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示例问题7:截面体积和区域面积

这条线形成的固体的体积是多少 $y=\sqrt{x}$ 绕着设在从 x=4 来 x = 9 ？

可能的答案:

$\frac{211\pi}{5}$

$\frac{21\pi}{2}$

$36\pi$

正确答案:

$\frac{211\pi}{5}$

解释：

要绕y轴旋转曲线，首先要转换函数，通过求解使y为自变量 $y=\sqrt{x}$ 这就得到了函数 x=y^2 ．

我们还需要将区间的端点转换为y值。注意,当 $x=4, \ y=2$ ,当 x = 9, y = 3. 因此，旋转的区间是从 $y=2\ to\ y=3$ ．

在这种情况下，磁盘法是最好的。圆盘法的一般公式是

$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx$ ， V为体积， $a\ and\ b$ 区间的端点，和 f(x) 被旋转的函数。

从问题中代入函数和端点就得到了积分

$V=\pi\int_{2}^{3}(y^2)^2dy=\pi\int_{2}^{3}y^4dy$ ．

要计算这个积分，你必须知道幂法则。回想一下幂法则

$\int{y^ndy}=\frac{y^{n+1}}{n+1}+c$ ．

$\pi\int_{2}^{3}y^4dy=\pi[\frac{y^5}{5}]_{2}^{3}$

$=\pi\left[\frac{3^5}{5}-\frac{2^5}{5}\right]=\pi\left[\frac{243}{5}-\frac{32}{5}\right]$

$=\frac{211\pi}{5}$ ．

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示例问题8:截面体积和区域面积

求出函数时生成的固体的体积

f(x)=x

在区间上绕x轴旋转 [0,8] ．

提示:采用圆柱形圆盘法。

可能的答案:

$V=215\pi$ 单位的立方

$V=\frac{625\pi}{3}$ 单位的立方

$V=\frac{512\pi}{3}$ 单位的立方

$V=\frac{400\pi}{3}$ 单位的立方

正确答案:

$V=\frac{512\pi}{3}$ 单位的立方

解释：

体积的公式为

$V=\pi \int_{a}^{b} r^2 \, dx$

在哪里 r=f(x) 积分的积分限来自于区间 [a,b] ．

因此,

$V=\pi \int_{0}^{8} x^2 \, dx$

在求积分时，我们将使用逆幂法则

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$

应用这个法则，我们得到

$\pi \int_{0}^{8} x^2 \, dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}\right) \left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right|_{0}^{8}$

根据微积分第一基本定理的推论

$\pi \left(\frac{x^3}{3}\right) \left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right|_{0}^{8}=\pi \left(\left[\frac{8^3}{3}\right]-\left[\frac{0^3}{3}\right]\right)$

$=\frac{512\pi}{3}$

因此,

$V=\frac{512\pi}{3}$ 单位的立方

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示例问题9:截面体积和区域面积

用柱面圆盘法，求出绕x轴旋转区域的体积

f(x)=-x^2+10x+3

的时间间隔

[0,10]

可能的答案:

$20000\pi$ 单位的立方

$15000\pi$ 单位的立方

$\frac{13270}{3}\pi$ 单位的立方

$10000\pi$ 单位的立方

正确答案:

$\frac{13270}{3}\pi$ 单位的立方

解释：

绕x轴旋转区域的体积公式为

$V=\pi \int_{a}^{b} r^2\, dx$

在哪里 r=f(x)

像这样

$V=\pi \int_{0}^{10} (-x^2+10x+3)^2\,dx = \pi \int_{0}^{10}x^4-20x^3+94x^2+60x+9\,dx$

在求积分时，我们使用逆幂法则

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

一项一项地应用这个法则，我们得到

$= \pi \int_{0}^{10}x^4-20x^3+94x^2+60x+9\,dx = \pi\left ( \frac{x^5}{5} - \frac{20x^4}{4} + \frac{94x^3}{3} + \frac{60x^2}{2} + 9x\right |_{0}^{10}$

根据微积分基本定理的推论

$\pi\left ( \frac{x^5}{5} - \frac{20x^4}{4} + \frac{94x^3}{3} + \frac{60x^2}{2} + 9x\right |_{0}^{10}=\pi \left ( \left [ \frac{(10)^5}{5}-\frac{20(10)^4}{4}+\frac{94(10)^3}{3}+\frac{60(10)^2}{2}+9(10) \right ]-0 \right )$

$=\frac{13270}{3}\pi$

体积就是这样

$\frac{13270}{3}\pi$ 单位的立方

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示例问题11:固体的体积

求沿y轴旋转所产生的固体体积即曲线下的区域 $y =\sqrt{x}$ ,从来．

可能的答案:

$\frac{64}{3}\pi$

$\frac{128}{5}\pi$

其他答案都没有

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{256}{7}\pi^2$

正确答案:

$\frac{128}{5}\pi$

解释：

因为我们旋转的是函数绕y轴，我们用圆柱壳的方法求体积。

用圆柱壳的公式，我们有

$\int_{0}^{4}2\pi x (\sqrt{x})dx$

$=\int_{0}^{4}2\pi x^{3/2}dx$

$=[2\pi x^{5/2}]^{4}_{0}$

$=\frac{128}{5}\pi$ ．

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