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AP微积分BC:微积分基本定理与反微分技巧

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问题1:微积分基本定理与定积分

查找结果:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{1}^{e^x} t \ln t \; \mathrm{d}t$

可能的答案:

$xe^{2x}$

2xe^x + 1

$xe^{x }+ e$

$xe^{x+1}$

2xe^x

正确答案:

$xe^{2x}$

解释：

集 u = e^x 。然后 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = e^x$ 根据链式法则，

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{1}^{e^x} t \ln t \; \mathrm{d}t$

$=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \int_{1}^{u} t \ln t \; \mathrm{d}t$

$= e^x \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \int_{1}^{u} t \ln t \; \mathrm{d}t$

根据微积分基本定理，可将上述式改写为

$e^x \cdot u \ln u$

$= e^x \cdot e^x \ln e^x$

$= e^{2x} \cdot x = xe^{2x}$

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问题1:微积分基本定理

评估 f'(0) ：

$f(x)=\int_{0}^{x} \sin\left(\sqrt{t^2+\frac{\pi^2}{4}} \right )dt$

可能的答案:

$\frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2}$

正确答案:

解释：

根据微积分基本定理，我们得到了它 ${f'(x) = \frac{d}{dx} \int_0^x \sin \sqrt{t^2 + \frac{\pi ^2}{4}} dt = \sin \sqrt{x^2 + \frac{\pi ^2}{4}}$ 。因此, $f'(0) = \sin \sqrt{0^2 + \frac{\pi ^2}{4}} =1$ 。

报告错误

问题3:微积分基本定理与定积分

评估 f'(4) 当 $f(x)=\int_{0}^{x}(2t^{2}+5t-4)dt$ 。

可能的答案:

正确答案:

解释：

根据微积分基本定理，已知一个函数 $f(x)=\int_{0}^{x}(2t^{2}+5t-4)dt$ ， $f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}(2t^{2}+5t-4)dt=2x^{2}+5x-4$ 。

因此 $f'(4)=2(4)^{2}+5(4)-4=32+20-4=52-4=48$ 。

报告错误

问题1:微积分基本定理与定积分

评估 f'(1) 当 $f(x)=\int_{0}^{x}(6t^{2}-3t+10)dt$ 。

可能的答案:

正确答案:

解释：

根据微积分基本定理，已知一个函数 $f(x)=\int_{0}^{x}(6t^{2}-3t+10)dt$ ， $f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}(6t^{2}-3t+10)dt=6x^{2}-3x+10$ 。因此, $f'(1)=6(1)^{2}-3(1)+10=6-3+10=3+10=13$ 。

报告错误

问题1:微积分基本定理与定积分

假设我们有这个函数

$\small g(x)=\int_{0}^{\cos x}(1+\sin t)dt$

导数是什么， $\small g'(x)$ ？

可能的答案:

$\small \small \small 1-\sin\left(\cos(x) \right )$

$\small \small \small \small \sin x\left[1+\sin\left(\cos x \right )\right]$

$\small \small -\sin x\left[1+\sin\left(\cos(x) \right )\right]$

$\small \small \small 1+\sin\left(\cos(x) \right )$

正确答案:

$\small \small -\sin x\left[1+\sin\left(\cos(x) \right )\right]$

解释：

我们可以看这个函数 $\small g(x)$ 作为的函数 $\small \cos x$ 就这样

$\small g(x)=F(\cos x)$

在哪里 $\small F(x)=\int_0^x (1+\sin t)dt$ 。

我们可以求导数 $\small g(x)$ 用链式法则:

$\small g'(x)=F'(\cos x)\cdot (\cos x)'=F'(\cos x)\cdot (-\sin x)$

在哪里 $\small F'(z)$ 可以用微积分基本定理找到:

$\small \small F'(x)=\frac{d}{dz}\int_0^z (1+\sin t)dt=1+\sin z$

所以我们得到

$\small \small \small \small g'(x)=-\sin x\cdot F'(\cos x)=-\sin x\cdot[1+\sin(\cos x)]$

报告错误

问题1:微积分基本定理

鉴于

$f(x)=\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{t^{2}}-2t+3\right)dt$ ，是什么? f'(6) ？

可能的答案:

$-\frac{36}{323}$

$\frac{323}{36}$

以上都不是。

$\frac{36}{323}$

$-\frac{323}{36}$

正确答案:

$-\frac{323}{36}$

解释：

根据微积分基本定理，对所有函数都适用在区间上连续定义 [a,b] 与在 [a,b] 对于所有函数定义于 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ ，我们知道 F(x)=f'(x) 。

因此,对于

$f(x)=\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{t^{2}}-2t+3\right)dt$ ，

$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{t^{2}}-2t+3\right)dt=\frac{1}{x^{2}}-2x+3$ 。

因此,

$f'(6)=\frac{1}{6^{2}}-2(6)+3=\frac{1}{36}-12+3=\frac{1}{36}-9=\frac{1}{36}-\frac{324}{36}=-\frac{323}{36}$

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问题7:微积分基本定理与定积分

鉴于

$f(x)=\int_{0}^{x}(\frac{2}{t^{2}+4t-5})dt$ ，是什么? f'(2) ？

可能的答案:

$-\frac{2}{7}$

$-\frac{7}{2}$

$\frac{2}{7}$

$\frac{7}{2}$

以上都不是。

正确答案:

$\frac{2}{7}$

解释：

根据微积分基本定理，对所有函数都适用在区间上连续定义 [a,b] 与在 [a,b] 对于所有函数定义于 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ ，我们知道 F(x)=f'(x) 。

鉴于

$f(x)=\int_{0}^{x}\left(\frac{2}{t^{2}+4t-5}\right)dt$ ,然后

$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\left(\frac{2}{t^{2}+4t-5}\right)dt=\frac{2}{x^{2}+4x-5}$ 。

因此,

$f'(2)=\frac{2}{2^{2}+4(2)-5}=\frac{2}{4+8-5}=\frac{2}{4+3}=\frac{2}{7}$ 。

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问题1:微积分基本定理与反微分技巧

评估 $\int_{0}^{6} (x-3)^2 dx$

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

正确答案:

解释：

$\int (x-3)^2 dx = \frac{1}{3} (x-3)^3 + C$

用微积分基本定理求值:

$\frac{1}{3} (6-3)^3 - [ \frac{1}{3}(0-3)^3] = \frac{1}{3} (3)^3 - \frac{1}{3} (-3)^3$

$9 + \frac{1}{3}(27) = 9+9 = 18$

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问题1:微积分基本定理与定积分

$\int _{\frac{\pi}{3}} ^ {\pi } \sin (x/2) dx$

可能的答案:

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3}{4}$

$2 \sqrt3$

$\sqrt3$

正确答案:

$\sqrt3$

解释：

$\int \sin (x/2) dx = -2 \cos (x/2 )$

用微积分基本定理求两个端点处的积分:

$-2 \cos (\pi/2 ) - -2 \cos (\frac{\pi}{3} / 2 ) = -2 \cos (\frac{\pi}{2}) + 2 \cos (\frac{\pi}{6})$

$= -2(0) + 2(\frac{\sqrt3}{2} )= \sqrt3$

报告错误

问题1:微积分基本定理与定积分

$\int_{-1}^{3} \left (4x^2 - x \right )dx$

可能的答案:

$0.\overline{3}$

$33.\overline{3}$

$31.\overline{6}$

$32.\overline{3}$

正确答案:

$33.\overline{3}$

解释：

$\int \left ( 4x^2 -x\right ) dx = \frac{4}{3} x^3 - \frac{1}{2} x + C$

用微积分基本定理求两个端点处的积分:

$\frac{4}{3} (3)^3 - \frac{1}{2} (3)^2 - [ \frac{4}{3} (-1)^3 - \frac{1}{2} (-1)^2]$

$= 36 - 4.5 - [ -\frac{4}{3} - \frac{1}{2} ] = 36 - 4.5 + 1. \overline{3} + .5 = 33. \overline{3}$

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