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AP微积分BC:瞬时变化率，平均变化率和线性逼近

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例子问题

例子问题1:A点导数

计算导数 f(x)=4x^2-x+2 在点 x=1 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

解决这个问题有两个步骤。

首先，求导 f(x) ．

然后，用给定的点替换x的值。

例如,如果 x=a ，那么我们就在寻找的值 f'(x=a) 的导数 f(x) 在 x=a ．

f(x)=4x^2-x+2

计算 f'(x)

这里需要的派生规则:

常数的导数是0。例如, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} 5 = 0$
对一项求导，或使用幂法则，可以通过以下方法实现: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} t^n = n * t^{n-1}$

f'(x)=8x-1

然后，代入x的值并求值

f'(x=1)=8*1-1 = 7

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例子问题1:瞬时变化率，平均变化率和线性近似

求一阶导数

f(x)=2e^x 而且 x=0 ．

可能的答案:

f'(0)=e

f'(0)=0

f'(0)=2

f'(0)=1

正确答案:

f'(0)=2

解释：

首先我们必须求出函数的一阶导数。

因为指数函数的导数就是指数函数本身

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^x]=e^x$

求导是一个线性运算，

我们有

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[f(x)]$

$=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[2e^x]$

$=2\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^x]$

=2e^x

现在设置 x=0

f'(0)=2e^0=2*1=2

因此

f'(0)=2

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例子问题1:瞬时变化率，平均变化率和线性近似

求出x=3时f(x)的变化率。

f(x)=3e^x-x^3+12x^2

可能的答案:

72.41

123.23

-27.2

105.26

正确答案:

105.26

解释：

求出x=3时f(x)的变化率。

f(x)=3e^x-x^3+12x^2

为了求变化率，我们需要求导数。

首先，回顾以下规则:

$1) \frac{d}{dx}e^x=e^x$

$2)\frac{d}{dx} x^n =nx^{n-1}$

我们可以对函数应用这两个求导规则来求一阶导数。然后把x代入3，解出来。

f(x)=3e^x-x^3+12x^2

f'(x)=3e^x-3x^2+24x

f'(3)=3e^3-3(3)^2+24(3)=105.26

所以答案是105.26

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