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AP微积分BC:导数定义为差商的极限

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例子问题

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问题63:衍生品

$g(x) = \sec \frac{\pi}{x}$

评估 g '(6) 。

可能的答案:

$- \frac{\pi \sqrt{3}}{54}$

$- \frac{\pi}{9}$

$- \frac{\pi}{54}$

$- \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

$- \frac{\pi \sqrt{3}}{27}$

正确答案:

$- \frac{\pi}{54}$

解释：

找到 g'(x) ,替代 $u =\frac{ \pi }{x} = \pi x ^{-1}$ 然后用链式法则

$g(x) = \sec \left (\frac{\pi}{x} \right )$

$g'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sec\frac{\pi}{x}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sec u$

$= \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}u} \sec u$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \pi x^{-1} \cdot \frac{\mathrm{d} } {\mathrm{d}u} \sec u$

$= \pi \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} \cdot \tan u \sec u$

$= - \pi x^{-2} \cdot \tan \frac{\pi}{x} \sec \frac{\pi}{x}$

$= - \frac{\pi}{x^{2}} \tan \frac{\pi}{x} \sec \frac{\pi}{x}$

所以 $g '(x)= - \frac{\pi}{x^{2}}\tan \frac{\pi}{x} \sec \frac{\pi}{x}$

和

$g '(6)= - \frac{\pi}{6^{2}}\tan \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{6}$

$= - \frac{\pi}{36} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= - \frac{\pi}{36} \cdot \frac{2\cdot 3}{9} = - \frac{\pi}{54}$

报告错误

问题1:导数定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x)= 1+\frac{4}{x}$

在这一点上 (2, 3) ？

可能的答案:

y = - x+5

y =2 x-1

y = x+1

y = 3

y =4 x-5

正确答案:

y = - x+5

解释：

图像的切线的斜率 $f(x)= 1+\frac{4}{x}$ 在 (2, 3) 是

f'(2) ，可计算如下:

$f(x)= 1+\frac{4}{x} = 1 + 4x^{-1}$

$f'(x) = (-1) 4x^{-1-1}$

$f'(x) = - \frac{4}{x^{2}}$

$f'(2) = - \frac{4}{2^{2}}= - 1$

有斜率的直线方程通过 (2, 3) 是:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

y - 3 = -1 (x-2)

y - 3 = - x+2

y = - x+5

报告错误

问题1:导数定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{6}$

在这一点上 (7, -1) ？

可能的答案:

$y = \frac {\pi \sqrt{2 }}{4} x- \frac {7 \pi \sqrt{2 }}{4} -1$

$y = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+ \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

$y = - \frac {\pi \sqrt{2 }}{4} x+ \frac {7 \pi \sqrt{2 }}{4} -1$

$y = \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x - \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

$y = - \frac {\pi }{6} x+ \frac {7 \pi }{6} -1$

正确答案:

$y = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+ \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

解释：

图像的切线的斜率 $f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{6}$ 在 (7, -1) 是

f'(7) ，可计算如下:

$f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{6} = 2 \sin \frac{\pi }{6}x$

$f'(x) = 2 \cdot\frac {\pi }{6} \cos \frac{\pi }{6}x$

$f'(x) = \frac {\pi }{3} \cos \frac{\pi }{6}x$

$f'(7) = \frac {\pi }{3} \cos \frac{7 \pi }{6}$

$= \frac {\pi }{3} \left ( - \frac{\sqrt{3}}{2}\right ) = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6}$ ，直线的斜率。

有斜率的直线方程 $- \frac {\pi \sqrt{3 }}{6}$ 通过 (7, -1) 是:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

$y - (-1) = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} (x-7)$

$y +1 = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+\left ( \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} \right ) 7$

$y = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+ \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

报告错误

问题1:导数定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x)= \frac{8}{x}$

在 (-2,-4) ？

可能的答案:

y = -2 x-8

y = -8 x-20

$y = \frac{1}{2}x-3$

y = 2 x

$y = - \frac{1}{2}x-5$

正确答案:

y = -2 x-8

解释：

图像的切线的斜率 $f(x)= \frac{8}{x}$ 在 (-2,-4) 是

f'(-2) ，可计算如下:

$f(x)= \frac{8}{x} = 8x^{-1}$

$f'(x)= 8 \cdot\left ( -1 x^{-2} \right )$

$f'(x)= -\frac{8}{x^{ 2}}$

$f'(-2)= -\frac{8}{(-2)^{ 2}} = -\frac{8}{4} = -2$ ，直线的斜率。

有斜率的直线方程通过 (-2,-4) 是:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

y - (-4) = -2 [x- (-2)]

y +4 = -2 (x+2)

y +4 = -2 x-4

y = -2 x-8

报告错误

问题1:导数定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x)= \log (x+3)$

在这一点上 (7,1) ？

可能的答案:

$y = \frac{x -7 + 10 \ln 10}{10 \ln 10}$

$y = \frac{x -7 + e \ln 10}{e \ln 10}$

y = 2x - 13

y = x-6

$y = \frac{x + 3 }{10 }$

正确答案:

$y = \frac{x -7 + 10 \ln 10}{10 \ln 10}$

解释：

图像的切线的斜率 $f(x)= \log (x+3)$ 在这一点上 (7,1) 是 f'(7) ，可计算如下:

$f(x)= \log (x+3)$

$f(x)=\frac{ \ln (x+3) }{\ln 10}$

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \frac{ \ln (x+3) }{\ln 10}$

$f'(x)= \frac{1 }{\ln 10} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln (x+3)$

$f'(x)= \frac{1 }{\ln 10} \cdot \frac{1}{x+3}$

$f'(7)= \frac{1 }{\ln 10} \cdot \frac{1}{7+3}$

$f'(7)= \frac{1 }{10 \ln 10}$

有这个斜率的直线 (7,1) 方程:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

$y - 1= \frac{1 }{10 \ln 10} (x-7)$

$y - 1= \frac{1 }{10 \ln 10} \cdot x- \frac{1 }{10 \ln 10} \cdot 7$ $y = \frac{x }{10 \ln 10} - \frac{7 }{10 \ln 10} +1$

$y = \frac{x -7 + 10 \ln 10}{10 \ln 10}$

报告错误

问题1:导数定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x) = x^{3} + x - 17$

在这一点上 (3, 13) ？

可能的答案:

y = 26 x- 65

y = 11x -20

y = 28 x- 71

y = 10x -17

y = 27 x- 68

正确答案:

y = 28 x- 71

解释：

图像的切线的斜率 $f(x) = x^{3} + x - 17$ 在这一点上 (3, 13) 是 f'(3) ，可计算如下:

$f(x) = x^{3} + x - 17$

$f'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^{3} + x - 17 \right )$

$f'(x) = 3x^{2} + 1$

$f'(3) = 3\cdot 3^{2} + 1 = 28$

斜率为28的直线 (3, 13) 方程:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

y -13= 28 (x-3)

$y -13= 28 x- 28 \cdot 3$

y -13= 28 x- 84

y = 28 x- 71

报告错误

问题1:A点导数

给定函数 y=log_e(x)+5x ，求该点的斜率 (10,51) 。

可能的答案:

斜率无法确定。

$\frac{51}{10}$

正确答案:

$\frac{51}{10}$

解释：

求一个函数在某一点处的斜率，对这个函数求导。

y=log_e(x)+5x

的导数 log_a(x) 是 $\frac{1}{x\:ln(a)}$ 。

因此导数变成，

$\frac{1}{x\:ln(e)}+5=\frac{1}{x}+5$ 自 ln(e)=1 。

现在我们代入给定的点来求该点的斜率。

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} +5 = \frac{1}{10}+5 =\frac{51}{10}$

报告错误

问题1:A点导数

求下一阶导数在该点的值 $\left(2,\frac{1}{2}\right)$ ：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$

可能的答案:

$\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{2}}}$

${}-\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{16}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{16}$

正确答案:

$-\frac{1}{16}$

解释：

为了解决这个问题，首先我们需要对函数求导。把方程写成 $f(x)=(x+2)^{-\frac{1}{2}}$ 从这里我们可以求导并化简得到

$\\f'(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+2)\\ f'(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 1\\f'(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^{-\frac{3}{2}}$

从这里开始，我们需要在给定的点求值 $\left(2,\frac{1}{2}\right)$ 。在这种情况下，只有x值是重要的，所以我们求x=2处的导数，得到 $f'(2)=-\frac{1}{2}(2+2)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}=-\frac{1}{16}$ 。

报告错误

问题2:A点导数

求给定函数在该点处的导数值 (-1,4) ：

f(x)=3x^4+2x^2-1

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了解决这个问题，首先我们需要对函数求导。

$\\f'(x)=4\cdot 3x^{4-1}+2\cdot 2x^{2-1}\\f'(x)=12x^3+4x$

从这里开始，我们需要在给定的点求值 (-1,4) 。在这种情况下，只有x值是重要的，所以我们求x=1处的导数，得到

$\\f'(-1)=12(-1)^3+4(-1)\\ f'(-1)=12(-1)+4(-1)\\ f'(-1)=-16$ 。

报告错误

问题2:导数定义为差商的极限

鉴于 $f(x)=5x^{2}+6x-12$ ，求的值 f'(x) 在这一点上 (-1,-1) 。

可能的答案:

正确答案:

解释：

给定函数 $f(x)=5x^{2}+6x-12$ ，我们可以用幂次法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 求它的导数

$f'(x)=(2)5x^{2-1}+(1)6x^{1-1}-(0)12=10x+6$ 。

插入-点的值 (-1,-1) 成 f'(x) ，我们得到

f'(-1)=10(-1)+6=-10+6=-4 。

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