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AP微积分BC:链式法则与隐式微分

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例子问题

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问题17:导数审查

用隐微分求dy/dx:

$x^3+x\tan^{-1}(y)=e^y$

可能的答案:

$\frac{e^y+\tan^{-1}(y)-x^3}{x}$

$\frac{3x^2+\tan^{-1}(y)}{e^y-\frac{x}{1+y^2}}$

$\frac{e^y-\frac{x}{1+y^2}}{3x^2+\tan^{-1}(y)}$

$\frac{e^y+3x^2}{\tan^{-1}(y)-\frac{x}{1+y^2}}$

$\frac{3x^2-\tan^{-1}(y)}{e^y-\frac{x}{1+y^2}}$

正确答案:

$\frac{3x^2+\tan^{-1}(y)}{e^y-\frac{x}{1+y^2}}$

解释：

为了求dy/dx，我们必须对给定函数隐式求导。注意这个术语 $x\tan^{-1}(y)$ 将需要使用乘积法则，因为它是两个独立函数相互相乘的组合。给定函数中的其他每一项都可以直接推导出来，但这一项往往会让许多学生感到困惑。记住使用乘法法则:

产品规则: $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$

现在，如果我们对给定问题表述的每个分量求导:

$3x^2\frac{dx}{dx}+[(x)(\frac{1}{1+y^2}(\frac{dy}{dx}))+(1)(\frac{dx}{dx})(\tan^{-1}(y))]=e^y\frac{dy}{dx}$

注意，任何时候我们对一项求导x我们在它旁边加上dx/dx，但它等于1。

这就变成了:
$3x^2+[\frac{x}{1+y^2}\frac{dy}{dx}+\tan^{-1}(y)}]=e^y\frac{dy}{dx}$

现在如果我们把所有dy/dx的项放到一边，提出因式，我们就能解出来了

$3x^2+\tan^{-1}(y)=e^y\frac{dy}{dx}-\frac{x}{1+y^2}\frac{dy}{dx}$

$3x^2+\tan^{-1}(y)=\frac{dy}{dx}(e^y-\frac{x}{1+y^2})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+\tan^{-1}(y)}{e^y-\frac{x}{1+y^2}}$

这是其中一个选项。

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例子问题12:导数审查

用隐微分求dx/dy

$x^3+x\tan^{-1}(y)=e^y$

可能的答案:

$\frac{\frac{x}{1+y^2}+e^y}{5x^2-\tan^{-1}(y)}$

$\frac{3x^2+e^y}{\tan^{-1}(y)-\frac{x}{1+y^2}}$

$\frac{e^y-\frac{x}{1+y^2}}{3x^2+\tan^{-1}(y)}$

$\frac{\tan^{-1}(y)-\frac{x}{1+y^2}}{3x^2+e^y}$

$\frac{3x^2+\tan^{-1}(y)}{e^y-\frac{x}{1+y^2}}$

正确答案:

$\frac{e^y-\frac{x}{1+y^2}}{3x^2+\tan^{-1}(y)}$

解释：

为了求出dx/dy，我们必须对给定函数隐式求导。注意这个术语 $x\tan^{-1}(y)$ 将需要使用乘积法则，因为它是两个独立函数相互相乘的组合。给定函数中的其他每一项都可以直接推导出来，但这一项往往会让许多学生感到困惑。记住使用乘法法则:

产品规则: $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$

现在，如果我们对给定问题表述的每个分量求导:

$3x^2\frac{dx}{dy}+[(x)(\frac{1}{1+y^2}(\frac{dy}{dy}))+(1)(\frac{dx}{dy})(\tan^{-1}(y))]=e^y\frac{dy}{dy}$

注意，任何时候我们对一项求导y我们在它旁边加上dy/dy，但它等于1。

这就变成了:
$3x^2\frac{dx}{dy}+[\frac{x}{1+y^2}+\tan^{-1}(y)\frac{dx}{dy}]=e^y$

现在如果我们把所有含dx/dy的项放到一边，提出因式，就能解出来了

$3x^2\frac{dx}{dy}+\tan^{-1}(y)\frac{dx}{dy}=e^y-\frac{x}{1+y^2}$

$\frac{dx}{dy}[3x^2+\tan^{-1}(y)]=e^y-\frac{x}{1+y^2}$

$\frac{dx}{dy}=\frac{e^y-\frac{x}{1+y^2}}{3x^2+\tan^{-1}(y)}$

这是其中一个选项。

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例子问题1:链式法则和隐式微分

用隐式微分法求出切线的斜率 $\small y^3-lny=x^2$ 在这一点上 $\small (1,1)$ ．

可能的答案:

$\small -2$

$\small -1$

$\small 1$

$\small 0$

$\small 2$

正确答案:

$\small 1$

解释：

我们必须求导 $\small \left(\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)$ 因为这样就能求出斜率。左边我们会得到

$\small 3y^2\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}-(1/y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ，右边我们得到 $\small 2x$ ．

我们包括 $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 在左边因为 $\small y$ 是一个函数 $\small x$ ，所以它的导数是未知的(因此我们试图解决它!)

现在我们可以提出a $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 在左边得到

$\small \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}(3y^2-1/y)=2x$ 然后除以 $\small 3y^2-1/y$ 为了解出 $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ．

这样做会让你

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{2x}{3y^2-1/y}$ ．

我们要求出斜率 $\small (1,1)$ ，所以我们可以代入 $\small 1$ 为 $\small x$ 而且 $\small y$ ．

$\small \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{2(1)}{3(1)^2-1/(1)}=2/2=1$ ．

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例子问题1:链式法则和隐式微分

$g(x) = e ^{x^{2}+x}$

评估 g '(3 ) ．

可能的答案:

$7 e^{9}$

$7 e^{12}$

$12 e^{11}$

$12 e^{12}$

$e^{7}$

正确答案:

$7 e^{12}$

解释：

找到 g'(x) ,替代 $u = x ^{2} + x$ 用链式法则:

$g(x) = e ^{x^{2}+x}$

$g'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e ^{x^{2}+x}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e ^{u}$

$= \frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}e ^{u}$

$= \frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x} \cdot e ^{u}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x ^{2} + x \right ) \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}e ^{u}$

$= \left ( 2x + 1 \right ) \cdot e ^{u}$

$= \left ( 2x + 1 \right ) \cdot e ^{ x ^{2} + x}$

$g'(x)= \left ( 2x + 1 \right ) e ^{ x ^{2} + x}$

插入3:

$g'(3)= \left ( 2 \cdot 3 + 1 \right ) \cdot e ^{ 3 ^{2} + 3}$

$= \left ( 6 + 1 \right ) \cdot e ^{ 9+ 3} =7e ^{ 12}$

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问题41:导数的计算

$g (x) = \frac{1}{4x - 7}$

评估 g ' (1 ) ．

可能的答案:

$\frac{4}{9}$

$-\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3}$

未定义的

$- \frac{4}{9}$

正确答案:

$- \frac{4}{9}$

解释：

找到 g'(x) ,替代 u =4x - 7 用链式法则:

$g (x) = \frac{1}{4x - 7}$

$g '(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cdot \frac{1}{4x - 7}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cdot \frac{1}{u}$

$= \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \frac{1}{u}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (4x-7) \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} u ^{-1}$

$=4 \cdot (-1 ) u ^{-1-1}$

$=-4 u ^{-2} = - \frac{4}{u^{2}}= - \frac{4}{(4x-7)^{2}}$

所以

$g'(x)= - \frac{4}{(4x-7)^{2}}$

而且

$g'(1)= - \frac{4}{(4 \cdot 1 -7)^{2}}$

$= - \frac{4}{(4 -7)^{2}}$

$= - \frac{4}{(-3)^{2}} = - \frac{4}{9}$

报告错误

例子问题1:链式法则和隐式微分

$g (x) = \tan \left ( x +\frac{ \pi }{4}\right )$

评估 $g' \left ( \pi )$ ．

可能的答案:

$-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$

未定义的

正确答案:

解释：

找到 g'(x) ,替代 $u = x +\frac{ \pi }{4}$ 用链式法则:

$g (x) = \tan \left ( x +\frac{ \pi }{4}\right )$

$g' (x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\tan \left ( x +\frac{ \pi }{4}\right )$

$g' (x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\tan u$

$=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \tan u$

$=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x +\frac{ \pi }{4} \right )\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \tan u$

$=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( x +\frac{ \pi }{4} \right ) \cdot \sec ^{2} u$

$=1 \cdot \sec ^{2}\left ( x +\frac{ \pi }{4}\right ) = \sec ^{2}\left ( x +\frac{ \pi }{4}\right )$

$g'(x) = \sec ^{2}\left ( x +\frac{ \pi }{4}\right )$

$g'(\pi ) = \sec ^{2}\left ( \pi +\frac{ \pi }{4}\right )$

$g'(\pi ) = \sec ^{2}\frac{ 5 \pi }{4}$

$= \left ( - \sqrt{2 }\right )^{2} = 2$

报告错误

例子问题1:链式法则和隐式微分

$g (x) = 3 ^{x^{2}}$

评估 g ' (-1 ) ．

可能的答案:

$-\frac{3 \ln 3}{2}$

$-6 \ln 3$

正确答案:

$-6 \ln 3$

解释：

找到 g'(x) ,替代 $u = x ^{2}$ 用链式法则:

$g (x) = 3 ^{x^{2}}$

$g ' (x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} 3 ^{x^{2}}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} 3 ^{u}$

$= \frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} 3 ^{u}$

$= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} x^{2} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} 3 ^{u}$

$= 2x \cdot \ln 3 \cdot 3 ^{u}$

$= 2x \ln 3 \cdot 3 ^{x^2}$

所以 $g'(x)= 2x \ln 3 \cdot 3 ^{x^2}$

而且

$g'(-1)= 2(-1) \ln 3 \cdot 3 ^{(-1)^2}$

$= -2 \ln 3 \cdot 3 ^{1} = -2 \ln 3 \cdot 3 = -6 \ln 3$

报告错误

例子问题1:链式法则和隐式微分

$g \left (x \right )= \cos \left ( \pi x^{2}\right )$

评估 $g ' \left ( \frac{1}{2} \right )$ ．

可能的答案:

$- \pi \sqrt{2}$

$\frac{ \pi \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{ \pi \sqrt{2}}{2}$

$\pi \sqrt{2}$

$- \frac{ \sqrt{2}}{2 \pi}$

正确答案:

$- \frac{ \pi \sqrt{2}}{2}$

解释：

找到 g'(x) ,替代 $u = \pi x^{2}$ 用链式法则:

$g \left (x \right )= \cos \left ( \pi x^{2}\right )$

$g'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos \left ( \pi x^{2}\right )$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos u$

$=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \cos u$

$=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \pi x^{2} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \cos u$

$= \pi \cdot 2 x\cdot \left ( - \sin u \right )$

$= \pi \cdot 2 x\cdot \left [- \sin \left ( \pi x^{2} ) \right ]$

$=-2 \pi x \sin \left ( \pi x^{2} )$

所以 $g'(x)=-2 \pi x \sin \left ( \pi x^{2} )$

而且

$g ' \left ( \frac{1}{2} \right )=-2 \pi\cdot \frac{1}{2} \sin \left [\pi \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right ]$

$=- \pi \sin \left ( \frac{\pi}{4} \right )$

$=- \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{ \pi \sqrt{2}}{2}$

报告错误

例子问题1:链式法则和隐式微分

$\frac{d}{dx} \ln(3x-7)$

可能的答案:

$\ln(3)$

$\frac{3}{3x-7}$

$\frac{1}{3x-7}$

$3 \ln (3x-7)$

正确答案:

$\frac{3}{3x-7}$

解释：

考虑这个函数是两个函数f(g(x))的复合。在这种情况下，f(x) = ln(x) g(x) = 3x - 7。ln(x)的导数是1/x, 3x - 7的导数是3。导数是 $\frac{1}{3x-7} \cdot 3 = \frac{3}{3x-7}$ ．

报告错误

例子问题2:链式法则和隐式微分

$\frac{d}{dx } 2 \sin (x^2 )$

可能的答案:

$4x \cdot \cos(x^2)$

$2x \cdot \cos(x^2)$

$2\cdot \cos(x^2)$

$-4x \cdot \cos(x^2)$

正确答案:

$4x \cdot \cos(x^2)$

解释：

考虑这个函数是两个函数f(g(x))的复合。在这种情况下， $f(x) =2 \sin (x)$ 而且 g(x) = x^2 ．根据链式法则， $f(g(x)) ' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ ．在这里, $f'(g(x)) = 2 \cos (x^2 )$ 而且 g'(x) = 2x ，导数是 $2 \cos (x^2 ) \cdot 2x = 4x \cdot \cos(x^2)$

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