例子问题
例子问题1:抗分化的应用
找到(dy / dx)。
sinxy = x + cos y
以上都不是
Dy /dx = (1 - cosxy)/(cos(xy) + siny)
Dy /dx = (cos(xy) + siny)/(1 - cos(xy))
Dy /dx = (1 - ycos(xy))/(xcos(xy) + siny)
Dy /dx = (xcos(xy) + siny)/(1 - ycos(xy))
Dy /dx = (1 - ycos(xy))/(xcos(xy) + siny)
问题的第一步是对(dy/dx)求导:
Cos (xy)[(x)(dy/dx) + y(1)] = 1 - siny (dy/dx)
*注意:当求导cos(xy)时,记得使用乘积法则。(xy' + x'y)
步骤2:清理差异化问题
cosxy (x)(dy/dx) + Cos (xy)y = 1 - siny (dy/dx)
cosxy (x)(dy/dx) + siny (dy/dx) = 1 - cosxy
步骤3:求解(dy/dx)
Dy /dx = (1 - ycos(xy))/(xcos(xy) + siny)
例子问题2:求解可分离变量微分方程并在建模中使用
求法线的方程在图表上.
答案是.
现在代入.
现在我们知道6是切线的斜率。但是,我们要求的不是切线的斜率。法线的斜率是切线斜率的负倒数;也就是说法线的斜率是.现在求法线的方程。
例子问题1:求解可分离变量微分方程并在建模中使用
它的导数是什么?
使用除法法则。
例子问题1:求解可分离变量微分方程并在建模中使用
找到如果
答案是
例子问题1:抗分化的应用
求导数:
为了求导数,指数乘以x项前面的系数,然后指数减去1:
例子问题1:抗分化的应用
求这个方程的解在在初始条件下.
首先,我们需要解的微分方程.
,在那里是常数
,在那里是常数
找到,使用初始条件,,并求解:
因此,.
最后,在,.
例子问题2:抗分化的应用
求解微分方程:
请注意,在曲线上。
为了解微分方程,你必须先分离变量。
因为点在曲线上,.
要去掉log,每一项都取e的幂:
例8:求解可分离变量微分方程并在建模中使用
求微分方程的解
当.
首先,分离原微分方程的变量:
.
然后对两边求不定积分,得到
.
使用给定的条件,代入
而且,来解.这给了,所以正确答案是
.
例子问题1:求解可分离变量微分方程并在建模中使用
求解下面的可分离变量微分方程在初始条件下.
我们按照以下步骤进行
.开始
.重写作为.
.两边同时乘以,然后两边除以.
.两边积分。不要忘记在一边。
代入初始条件.
.
.解出.
.两边取幂。
.指数法则。
例子问题10:求解可分离变量微分方程并在建模中使用
求解可分离变量的一阶微分方程:
求解可分离变量的一阶微分方程:
首先,把方程一侧导数的项集合起来。
重要概念注:在关于微分方程的文本中,微分经常出现代数上的重新排列是一个“分数”,使它看起来好像我们“两边都乘以”得到:.事实并非如此。根据定义,导数是一个极限,当极限存在时,可以取任何包含无理数的实数,即不能写成两个整数之比的数。
例如,我们不能表示作为一个比率,但有些函数在某一点上的导数可能等于,或者一个函数可能只是有一个无理数,如作为导数。例如,如果我们写出导数.声称而且分别代表一个“分子”和“分母”,我们本质上就是声称找到了一种写无理数的方法,比如作为一个比例,这很荒谬。表达式就是简单的符号。
我们是这样的真的做的事情。
注意积分常数可以通过定义组合成一个常数.
解出:
应用初始条件:
这里我们有两个可能的解。然而,由于初始条件,我们可以很容易地排除负解。一定等于正.