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AP微积分AB:二阶导数

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例子问题

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例子问题1:二阶导数

的凹度是什么 f(x)=6x^4-7x^3+8x^2-9x^2+18x 在x = 1 ?

可能的答案:

上凹的

凹下的

凹水平

凹对角

没有凹度

正确答案:

上凹的

解释：

首先，求给定函数的二阶导数。

你应该得到 f''(x)=72x^2-42x-2 ．

接下来，代入x=1得到 f''(1)=28 ．

二重导数是一个正数，这意味着凹面是凹上的。

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例子问题2:动词的凹面与动词的符号的关系

求二阶导数。

y= 3x^3

可能的答案:

y=18

y=9x^2

y=18x^2

y=9x

y=18x

正确答案:

y=18x

解释：

我们需要求二阶导。为此，我们将使用两次幂法则。我们先用幂法则求一阶导数，然后再用幂法则求二阶导数。幂法则说的是把x的指数放在前面。然后指数减去1。 $n(x^{n-1})$

因此，一阶导数是 9x^2 二阶导是 18x 通过权力的规则。

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例子问题2:二阶导数

$\begin{align*}&\text{For the point }x=4\text{, find the concavity of the function}\\&y=-20tan(3x)\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave upward.}$

$\text{The function is concave downward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave upward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[tan(ax)]=\frac{adx}{cos^2(ax)}=(atan^2(ax)+a)dx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&- 60tan(3x)^{2} - 60\\&\text{And our second is:}\\&-120tan(3x)\cdot (3tan(3x)^{2} + 3)\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&-120tan(3(4))\cdot (3tan(3(4))^{2} + 3)=321.46\\&\text{The function is concave upward.}\end{align*}$

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示例问题3:二阶导数

$\begin{align*}&\text{For the point }x=-4\text{, find the concavity of the function}\\&y=13cos(17x)\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave upward.}$

$\text{The function is concave downward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave downward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[cos(ax)]=-asin(ax)dx\\&d[sin(ax)]=acos(ax)dx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&-221sin(17x)\\&\text{And our second is:}\\&-3757cos(17x)\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&-3757cos(17(-4))=-1653.62\\&\text{The function is concave downward.}\end{align*}$

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示例问题4:二阶导数

$\begin{align*}&\text{Find the concavity of the function }\\&f(x)=-12tan(13x)\\&\text{When }x=4\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave upward.}$

$\text{The function is concave downward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave upward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[tan(ax)]=\frac{adx}{cos^2(ax)}=(atan^2(ax)+a)dx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&- 156tan(13x)^{2} - 156\\&\text{And our second is:}\\&-312tan(13x)\cdot (13tan(13x)^{2} + 13)\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&-312tan(13(4))\cdot (13tan(13(4))^{2} + 13)=9.24\cdot10^{5}\\&\text{The function is concave upward.}\end{align*}$

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示例问题5:二阶导数

$\begin{align*}&\text{Find the concavity of the function }\\&f(x)=17e^{(6x)}\\&\text{When }x=3\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave upward.}$

$\text{The function is concave downward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave upward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[e^{ax}]=ae^{ax}dx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&102e^{(6x)}\\&\text{And our second is:}\\&612e^{(6x)}\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&612e^{(6(3))}=4.02\cdot10^{10}\\&\text{The function is concave upward.}\end{align*}$

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示例问题6:二阶导数

$\begin{align*}&\text{Determine the concavity of the function}\\&-cos(15x)\\&\text{At the point }x=6\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave upward.}$

$\text{The function is concave downward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave downward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[cos(ax)]=-asin(ax)dx\\&d[sin(ax)]=acos(ax)dx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&15sin(15x)\\&\text{And our second is:}\\&225cos(15x)\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&225cos(15(6))=-100.82\\&\text{The function is concave downward.}\end{align*}$

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示例问题7:二阶导数

$\begin{align*}&\text{Determine the concavity of the function}\\&\frac{6}{x^{10}}\\&\text{At the point }x=-1\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave upward.}$

$\text{The function is concave downward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave upward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[x^a]=ax^{a-1}dx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&-\frac{60}{x^{11}}\\&\text{And our second is:}\\&\frac{660}{x^{12}}\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&\frac{660}{(-1)^{12}}=660.00\\&\text{The function is concave upward.}\end{align*}$

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示例问题8:二阶导数

$\begin{align*}&\text{Determine the concavity of the function}\\&-9e^{(-6x)}\\&\text{At the point }x=-8\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave downward.}$

$\text{The function is concave upward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave downward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[e^{ax}]=ae^{ax}dx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&54e^{(-6x)}\\&\text{And our second is:}\\&-324e^{(-6x)}\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&-324e^{(-6(-8))}=-2.27\cdot10^{23}\\&\text{The function is concave downward.}\end{align*}$

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示例问题9:二阶导数

$\begin{align*}&\text{Determine the concavity of the function}\\&\frac{19}{5^{(5x)}}\\&\text{At the point }x=-5\end{align*}$

可能的答案:

$\text{The function is concave upward.}$

$\text{The function is concave downward.}$

正确答案:

$\text{The function is concave upward.}$

解释：

$\begin{align*}&\text{To find the concavity of a function, we'll wish to first find}\\&\text{its second derivative, so let's do it in steps. For the function}\\&\text{we're given,}\text{ we'll wish to use the following:}\\&d[b^{ax}]=ab^{ax}ln(b)sx\\&\text{Our first derivative is thus:}\\&-\frac{(95ln(5))}{5^{(5x)}}\\&\text{And our second is:}\\&\frac{(475ln(5)^{2})}{5^{(5x)}}\\&\text{Now if we plug in our x-value we find}\\&\frac{(475ln(5)^{2})}{5^{(5(-5))}}=3.67\cdot10^{20}\\&\text{The function is concave upward.}\end{align*}$

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