解释：

我们在求导关于．所以我们可以治疗作为一个常数。

因此，导数变成．

通过插入而且，我们得到．

解释：

闭区间上函数的极大值和最小值可以出现在局部极值处，也可以出现在端点处。局部极值出现在导数为0时。首先求导，

我们看到极值会发生在而且．这里，我们可以用一阶导数或二阶导数判别来判断哪个极值是极大值，或者直接代入函数，如果其中一个极值是极小值，它就不是我们的答案。

如果你选择第一条路，你就

我们知道0处的极值是局部极大值，2/3处的极值是局部极小值。

测试最大值和两个端点，我们有

最大值是7。

解释：

设图片的尺寸为x和y。

约束条件是

解出x

我们把x的值代回到面积方程中

为了使这个方程最大化，我们需要找到它的导数并使它等于零

既然我们已经找到了第一个维度，我们需要找到第二个维度

我们的尺寸是10英寸和20英寸

解释：

当一个函数的二阶导数等于零时，就会出现拐点。对于这个函数

一阶导数是:

根据乘法法则。

二阶导数是

设此值为零，得到:

因为我们知道不可能永远等于零，我们只关心什么,所以

解释：

函数的极大值和极小值可以发生在导数为0或未定义的地方。为了找出它在哪里发生，我们求导。

可以看到，导数在点处为0．

现在，我们有三个选择:

我们可以把它们都代入原方程看看哪个最大，哪个最小。

我们可以用一阶导数区间检验来判断哪些是最小值，哪些是最大值。

我们可以用二阶导数检验来判断哪些是最小值，哪些是最大值。

因为我们很可能要把它们都代入方程，而且问题不要求将点分类为局部最小值或最大值，第一种方法是最有效的。代入点，我们发现；；

在我们确定答案之前，重要的是要记住，在封闭域中全局最大值和最小值可能发生在端点处，而在开放域中，可能不存在。对于这个问题，我们有一个朝上的四分之一。因此，不存在全局最大值，因为图的两边都是无限的。另一方面，有一个全局最小值因为图是连续的并且不会下降到负无穷。

因为我们知道最小值一定发生在我们上面确定的点之一，我们可以看到，在x = 4时，我们有一个全局最小值为-123，没有全局最大值。

还要注意，作为一个术语，全局最大值或最小值是a价值发生在一个点。因此，我们的答案不是最大值是(4，-123)，而是-123。

解释：

这是一个优化问题。这个问题要求找出沿着海滩跑的距离最小化到达水中的游泳者所需的时间。为了使时间最小化，我们需要构造一个方程，其中时间是一个变量的函数。幸运的是，这个等式

可以用时间来求解，这就是我们如何创建我们需要的方程。

用这个方程求时间

我们有两个rate。在沙滩上跑步，在水里游泳。所以我们有两个时间来考虑:

而且

把这两个时间加起来就是到达水中的人的总时间。

我们得到了救生员跑步和游泳的速度，分别是10英尺/秒和4英尺/秒。变量是在海滩上游多远。

标注救生员跑的距离为这会让计算变得有些困难，在哪里标注救生员跑的距离这样计算起来就更方便了。我们只需要记住这是我们做的。下图显示了这个解释中使用的标签。

有了这个标签，救生员跑的距离是，救生员游的距离为根据勾股定理。

将距离和速率代入我们的时间方程，得到:

这表示时间是一个变量的函数，．这是我们需要最小化的。为了做到这一点，我们将找到这个函数的相对最小值。我们求一阶导数。首先，我们做一些代数运算，然后把化成两个分数，把平方根改写成指数，这样求导就容易计算了。

现在求导数。的导数是．

的导数是．

我们用链式法则．这样做

将这些部分组合在一起会得到下面的导数

为了找到临界点，我们用0代入时间'。

解出，我们移动对边，然后交叉相乘。

现在我们可以在两边同时除以4来分离根号，然后将结果10/4减为5/2。然后两边平方消去平方根。

我们知道需要移动两项放在同一侧，在这个解释中的右边记住，我们需要得到公分母来合并它们。

两边同时乘以隔离．然后两边同时开根号。我们不需要合并当我们开方时，因为是一种物理距离。

因为题目要求我们把答案近似到最接近的百分之一，我们可以代入用计算器算出小数。这样做大约得到x=43.64英尺。

然而，这并不是我们最终的答案。回想一下，我们定义救生员跑的距离为．所以我们需要用200减去x=43.64来找出问题要求的是什么。

这样我们得到最终的答案是．

解释：

由于矩形的一个角在原点(0,0)上，另一个角在图形上的点(x,y)上，我们可以设置宽度为x，长度为y。

矩形的面积是，对于这个问题，．

由于我们试图使面积最大化，我们需要将面积表示为一个变量的函数。现在我们有两个变量。解决这个问题的方法是替换一个变量，比如，其等效函数为．

大多数问题给出了两个变量之间的关系。在这个问题中，1 / 4椭圆的方程，，是我们需要的关系。

我们可以用在面积方程中。

现在我们有了求面积最大值的方程，只用一个变量x表示，现在我们可以通过求导来求相对最大值。

在求导数之前，将平方根改写成指数形式是有帮助的。

我们需要用到乘法法则，，用链式法则．这样做，我们得到:

现在我们通过设导数为零来求导数的临界点。同时我们稍微化简一下导数。我们可以把第二部分的分数相乘，移动一下直到分母去掉指数的负号。这给了我们:

现在我们可以解出x，首先，减去左边的项。

现在两边同时乘以分母，，以便消去分数。

的乘以同一组，所以我们把它们的指数相加，1/2 + 1/2，等于1。所以我们不需要写新的指数，因为1已经被理解了。

因为基团的功率是1，我们可以把-6分配到它上面。

移动所有的左边的项，右边的-6，我们得到

两边同时除以2得到等式

两边同时开根号。

由于图的域为，我们可以忽略否定的答案而使用肯定的答案。

现在我们知道宽度是．为了求出长度，我们需要．

插头到图的方程中去．

我们需要把分母的平方根消掉。为此，我们将分子和分母同时乘以．

因此，矩形的长度应该是．

现在我们知道了矩形的尺寸，使它的面积最大化:

宽度=

长度=