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AP微积分AB:导数作为变化率的解释

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例子问题

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例子问题1:导数作为变化率的解释

求y的变化率，如果 $y=5x^{-3}+3e^{x}$

可能的答案:

$y'=6x^{3}+e^{3x}$

$y'=-3x^{-4}+3e^{x}$

$y'=-6x^{-2}+3e^{3x}$

$y'=-15x^{-4}+3e^{x}$

$y'=-15x^{-3}+4e^{x}$

正确答案:

$y'=-15x^{-4}+3e^{x}$

解释：

y的变化率也是y的导数。

对给定函数求导。

你应该 $y'=-15x^{-4}+3e^{x}$

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例子问题2:导数作为变化率的解释

如果p(t)给出了小行星的位置作为时间的函数，请找出小行星速度作为时间的函数。

p(t)=-365sin(t)+12t^3-3t^2+164

可能的答案:

p'(t)=-365cos(t)+36t^3-6t

p'(t)=365cos(t)+36t^3-6t

p'(t)=-365cos(t)+36t^3-6t+164

p'(t)=-365+cos(t)+36t^3-6t

正确答案:

p'(t)=-365cos(t)+36t^3-6t

解释：

如果p(t)给出了小行星的位置作为时间的函数，请找出小行星速度作为时间的函数。

p(t)=-365sin(t)+12t^3-3t^2+164

首先回顾一下速度是位置的一阶导数。我们要做的就是求位置函数的一阶导数。

回想一下，正弦的导数是余弦，多项式的导数可以通过将每一项乘以它的指数，然后将指数减去1来求得。

开始:

p(t)=-365sin(t)+12t^3-3t^2+164

我们得到:

p'(t)=-365cos(t)+36t^3-6t

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问题1011:Ap微积分Ab

给定j(k)，求k=5时的变化率。

j(k)=-3k^3+4k+16

可能的答案:

125

正确答案:

解释：

给定j(k)，求k=5时的变化率

j(k)=-3k^3+4k+16

让我们先认识到变化率指的是导数。

我们需要求出j(k)的导数

j(k)=-3k^3+4k+16

我们把每一项都乘以指数，然后指数减1

j(k)=-3k^3+4k+16

j'(k)=-9k^2+4

接下来，代入5得到答案:

j'(5)=-9(5)^2+4=-9*25+4=-225+4=-221

所以变化率是-221。

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问题4:导数作为变化率的解释

如果p(t)给出了行星的位置作为时间的函数，请找出模拟行星速度的函数。

p(t)=-12t^3+6t^2-12t+sin(t)

可能的答案:

v(t)=-72t^2+12-sin(t)

v(t)=36t^2+12+cos(t)

v(t)=-36t^2+12t-cos(t)

v(t)=-36t^2+12t-12+cos(t)

正确答案:

v(t)=-36t^2+12t-12+cos(t)

解释：

如果p(t)给出了行星的位置作为时间的函数，请找出模拟行星速度的函数。

p(t)=-12t^3+6t^2-12t+sin(t)

速度是位置的一阶导数。

因此，要解决这个问题，我们所要做的就是求一阶导数。

我们可以用幂法则和微分sin的法则来做。

1） $\frac{d}{dx}x^n=(n)x^{n-1}$

2） $\frac{d}{dx}(sin(x))=cos(x)$

所以，我们记住这些规则，我们得到:

p(t)=-12t^3+6t^2-12t+sin(t)

p'(t)=v(t)=-36t^2+12t-12+cos(t)

所以我们最终的答案是:

v(t)=-36t^2+12t-12+cos(t)

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例5:导数作为变化率的解释

如果p(t)给出了行星的位置作为时间的函数，求出t=0时行星的速度。

p(t)=-12t^3+6t^2-12t+sin(t)

可能的答案:

正确答案:

解释：

如果p(t)给出了行星的位置作为时间的函数，求出t=0时行星的速度。

p(t)=-12t^3+6t^2-12t+sin(t)

速度是位置的一阶导数。因此，要解决这个问题，我们所需要做的就是求出p(t)的一阶导数，然后代入0来求解。

我们可以通过幂法则和sin和cos的微分法则来做。

1） $\frac{d}{dx}x^n=(n)x^{n-1}$

2） $\frac{d}{dx}(sin(x))=cos(x)$

所以，我们记住这些规则，我们得到:

p(t)=-12t^3+6t^2-12t+sin(t)

p'(t)=v(t)=-36t^2+12t-12+cos(t)

所以我们的速度函数是:

v(t)=-36t^2+12t-12+cos(t)

代入0，化简。

v(0)=-36(0)^2+12(0)-12+cos(0)=0+0-12+1=-11

所以答案是-11。我们没有给出任何单位，所以我们不需要担心它们。

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例子问题6:导数作为变化率的解释

一家生产钢笔的工厂想要最大限度地提高产量;要做到这一点，它需要找到钢笔生产的变化率。如果钢笔是按照以下函数生产的，求这个速率:

$p(t)=5000t^2+400\cos(t)$

可能的答案:

$10000t-400\sin(t)$

$1000t-400\sin(t)$

$10000t+400\sin(t)$

$4000t-400\sin(t)$

正确答案:

$10000t-400\sin(t)$

解释：

函数的变化率由该函数的导数给出。为了求出产量的变化率，我们必须对产量的函数求一阶导数，它等于

$p'(t)=10000t-400\sin(t)$

使用以下规则发现:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ , $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(t)=-\sin(t)$

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例子问题1:导数作为变化率的解释

混凝土在工厂的流动遵循以下理论模型:

$c(x)=2x^2-5\cos(x)+5\sin(x)$

混凝土流量的变化率是多少?

可能的答案:

$4x+5\sin(x)-5\cos(x)$

$4x-5\sin(x)+5\cos(x)$

$4x+5\sin(x)+5\cos(x)$

正确答案:

$4x+5\sin(x)+5\cos(x)$

解释：

混凝土流量的变化率由混凝土流量函数的一阶导数给出:

$c'(x)=4x+5\sin(x)+5\cos(x)$

并被发现使用以下规则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ , $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$ , $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sin(x)=\cos(x)$

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例8:导数作为变化率的解释

求t=5时汽车的速度，如果它的位置是

$s(t)=4t^2+\frac{t}{5}$

可能的答案:

-40.2

40.2

正确答案:

40.2

解释：

为了确定汽车的速度，我们必须对位置函数求一阶导数，这就得到了变化率汽车的位置，换句话说，速度。

$s'(t)=8t+\frac{1}{5}$

用下面的规则求导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ , $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}ax=a$

求t=5处的导数函数，得到速度为

$s'(5)=8(5)+\frac{1}{5}=40.2$

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问题9:导数作为变化率的解释

一组科学家使用以下代码来描述粒子的速度和加速度:

$\alpha$ ，此时速度和加速度均为正;
$\beta$ 时，速度为正，加速度为负;
$\gamma$ 时，速度为负，加速度为正;
$\delta$ ，当速度和加速度都为负时。

当t=2时，科学家们将使用什么代码来描述一个粒子移动，其位置函数由下面的方程给出:

s(t)=12t-t^2

可能的答案:

$\alpha$

$\gamma$

$\beta$

我们需要更多的信息来确定使用的代码

$\delta$

正确答案:

$\beta$

解释：

为了确定科学家们将使用哪种编码，我们必须找出粒子的速度和加速度，分别由位置函数的一阶导数和二阶导数给出，并在给定的点上求值。

因此，速度和加速度函数为

v(t)=s'(t)=12-2t

a(t)=s''(t)=-2

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ , $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ax=a$

求t=2时的值

v(2)=8 > 0, a(2)=-2 < 0

当速度为正，加速度为负时，科学家使用的编码是 $\beta$ ．

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例子问题10:导数作为变化率的解释

求出粒子在x=0处的速度，其位置由以下函数给出:

s(t)=14t+4t^2

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了确定质点的速度，我们必须对位置函数求一阶导数——换句话说，位置的变化率就是速度:

v(t)=s'(t)=14+2t

用下面的规则求导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

为了求出给定点的速度，我们只需将值代入速度函数:

v(0)=14+2(0)=14

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